Элементы математической статистики

Свойства случайных величин

Случайными величинами называются величины, которые в результате опыта проведенного при одних и тех же условиях могут принимать различные числовые значения. Случайные погрешности измерений являются одним из примеров случайных величин.

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только определенные числовые значения. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать непрерывный ряд значений.

Проведем прямые многократные равноточные измерения одной и той же физической величины . Если измеряемая величина  непрерывна, то в результате достаточно большого числа  измерений получим ряд значений , ,…, , причем истинное значение измеряемой величины x₀ неизвестно.

А , ,...,  – количество измерений, попавших, соответственно в первый, второй, и т. д. интервал длиной . Относительная частота попадания результатов измерений в какой-либо интервал (, ) равна  .

При большом числе измерений n относительную частоту  того, что величина  может принимать значения в интервале от  до , называют вероятностью , где величина  – представляет вероятность, приходящуюся на единичный интервал, причем она зависит от значения , т. е. является некоторой функцией  и называется плотностью вероятности или плотностью распределения.

Для любого бесконечно малого интервала  вероятность  того, что в результате измерения величины x получится значение, при надлежащее интервалу от  до , зависит от плотности вероятности

Вероятность  попадания результата измерения величины  в интервал от  до  численно равна площади под кривой функции плотности вероятности на этом интервале, которая вычисляется путем интегрирования функции плотности вероятности

Для данного зафиксированного значения xi, чем больше длина интервала , тем больше соответствующая ему вероятность.

При бесконечно малом интервале , т.е. при зафиксированном конкретном значении случайной величины, площадь обратится в ноль. Это значит, что вероятность получить при измерении конкретное фиксированное значение непрерывной случайной величины равна нулю. То есть для непрерывной случайной величины можно указать лишь интервал ее возможных значений с указанием вероятности ее пребывания в этом интервале. Это означает, что из всей серии результатов измерений , ,…,  невозможно указать истинное значение величины, а лишь интервал близких к нему возможных значений. Также невозможно указать точное значение допущенной при этом погрешности, а лишь интервал возможных значений погрешности с соответствующей вероятностью.