Формулы сокращенного умножения (20 час.)

 

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квад рата разности. Умножение разности двух выражений на их сумму. Разложение разности квадратов на множители. Разложение на множители суммы и разности кубов. Преобразование целого выражения в многочлен. Применение различных способов для разложения на множители. Применение преобразования целых выражений.

 

Основная цель: выработать умение применять в несложных случаях формулы сокращенного умножения для преобразования целыхвыражений в многочлены и для разложения многочленов на множители.

 

В данной теме продолжается работа по формированию у учащихся умения выполнять тождественные преобразования целых выражений. Основное внимание в теме уделяется формулам (а-в)(а+в)=а ² -в ², (а±в) ² =а ² ±2ав+в ². Учащиеся должны знать эти формулы и соответствующие словесные формулировки, уметь применять их как «слева направо», так и «справа и налево».

 

14

Системы линейных уравнений (16 час.)

 

Линейное уравнение с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Способ подстановки. Способ сложения. Решение задач с помощью систем уравнений.

 

Основная цель: познакомить учащихся со способами решения систем линейных уравнений с двумя переменными,выработать умениерешать системы уравнений и применять их при решении текстовых задач.

 

Изучение систем уравнений распределяется между курсами 7 и 9 классов. В 7 классе вводится понятие системы и рассматриваются системы линейных уравнений.

 

Изложение начинается с введения понятия «линейное уравнение с двумя переменными». В систему упражнений включается несложные задания на решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах.

 

Формируется умение строить график уравнения а+ву=с, а=0 или в=0, при различных значениях а,в,с. Введение графических образов дает возможность наглядно исследовать вопрос о числе решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

 

Основное место в данной теме занимает изучение алгоритмов решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки и способом сложения. Введение систем позволяет расширить круг текстовых задач, решаемых с помощью аппарата алгебры. Применение систем упрощает процесс перевода данных задачи с обычного языка на язык уравнений.

 

Повторение. Решение задач (6 час.)

 

Требования к уровню подготовки учащихся.

 

В результате изучения математики ученик должен:

 

Знать/понимать

· математический язык;

 

· свойства степени с натуральным показателем; %

 

· определение одночлена и многочлена, операции над одночленами и многочленами; формулы сокращенного умножения; способы разложения на множители;

 

· определение алгебраической дроби, операции над алгебраическими дробями;

 

· линейную функцию, её свойства и график;

 

· определение уравнения с одним неизвестным, корня уравнения, свойства, с помощью которых решаются уравнения первой степени с одним неизвестным;

 

· способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

 

Уметь:

· составлять математическую модель при решении задач;

 

15

· решать уравнения первой степени с одним неизвестным;

· выполнять действия над степенями с натуральными показателями, показателем, не равным нулю, используя свойства степеней;

 

· выполнять арифметические операции над одночленами и многочленами, раскладывать

 

· многочлены на множители, используя метод вынесения общего множителя за скобки, метод группировки, формулы сокращенного умножения;

 

· выполнять арифметические действия с алгебраическими дробями;

 

· строить графики линейной функции;

 

· решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными

 

Класс. Содержание учебного предмета

 

 

Рациональные дроби (23 ч)

 

Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений. Функция и ее график.

Основная цель: выработать умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.

 

Так как действия с рациональными дробями существенным образом опираются на действия с многочленами, то в начале темы необходимо повторить с учащимися преобразования целых выражений.

 

Главное место в данной теме занимают алгоритмы действий с дробями. Учащиеся должны понимать, что сумм у, разность, произведение и частное дробей всегда можно представить в виде дроби. Приобретаемые в данной теме умения выполнять сложение, вычитание, умножение и деление дробей являются опорными в преобразованиях дробных выражений. Поэтому им следует уделить особое внимание. Нецелесообразно переходить к комбинированным заданиям на все действия с дробями прежде, чем будут усвоены основные алгоритмы. Задания на все действия с дробями не должны быть излишне громоздкими и трудоемкими.

 

При нахождении значений дробей даются задания на вычисления с помощью калькулятора. В данной теме расширяются сведения о статистических характеристиках. Вводится понятие среднего гармонического ряда положительных чисел.

Изучение темы завершается рассмотрением свойств графика функции.

 

 

Квадратные корни (19 ч)

 

Понятие об иррациональных числах. Общие сведения о действительных числах. Квадратный корень. Понятие о нахождении приближенного значения квадратного корня. Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадрат ные корни. Функция ее свойства и график.

 

Основная цель: систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах,расширив темсамым понятие о числе; выработать умение выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

 

16

В данной теме учащиеся получают начальное представление о понятии действительного числа. С этой целью обобщаются известные учащимся сведения о рациональных числах. Для введения понятия иррационального числа используется интуитивное представ ление о том, что каждый отрезок имеет длину и потому каждой точке координатной прямой соответствует некоторое число. Показывается, что существуют точки, не имеющие рациональных абсцисс.

При введении понятия корня полезно ознакомить учащихся с нахождением корней с помощью калькулятора.

 

Основное внимание уделяется понятию арифметического квадратного корня и свойствам арифметических квадратных корней. Доказываются теоремы о корне из произведения и дроби, а также тождество, которые получают применение в преобр азованиях выражений, содержащих квадратные корни. Специальное внимание уделяется освобождению от иррациональности в знаменателе дроби в выражениях вида. Умение преобразовывать выражения, содержащие корни, часто используется как в самом курсе алгебры, так и в курсах геометрии, алгебры и начал анализа.

 

Продолжается работа по развитию функциональных представлений учащихся. Рассматриваются функция, ее свойства и график. При изучении функции показывается ее взаимосвязь с функцией, где x ≥ 0.

 

Квадратные уравнения (20 ч)

 

Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям.

 

Основная цель: выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решениюзадач.

 

В начале темы приводятся примеры решения неполных квадратных уравнений. Этот материал систематизируется. Рассматриваются алгоритмы решения неполных квадратных уравнений различного вида.

 

Основное внимание следует уделить решению уравнений вида ах ² + b х + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней. В данной теме учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.

 

Учащиеся овладевают способом решения дробных рациональных уравнений, который состоит в том, что решение таких уравнений сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.

 

Изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

 

Неравенства (19 ч)

 

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Погрешность и точность приближения. Линейные неравенства с одной переменной и их системы.

 

Основная цель –ознакомить учащихся с применением неравенств для оценки значений выражений,выработать умение решатьлинейные неравенства с одной переменной и их системы.

 

Свойства числовых неравенств составляют ту базу, на которой основано решение линейных неравенств с одной переменной. Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств находят применение при выполнении простейших упражнен ий на оценку выражений по методу границ. Вводятся понятия абсолютной погрешности и точности приближения, относительной погрешности.

 

 

17

Умения проводить дедуктивные рассуждения получают развитие как при доказательствах указанных теорем, так и при выполнении упражнений на доказательства неравенств.

 

В связи с решением линейных неравенств с одной переменной дается понятие о числовых промежутках, вводятся соответствующие названия и обозначения. Рассмотрению систем неравенств с одной переменной предшествует ознакомление учащихся с понятиями пересечения и объединения множеств.

 

При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание следует уделить отработке умения решать простейшие неравенства вида ах > b, ах < b, остановившись специально на случае, когда а < 0.

 

В этой теме рассматривается также решение систем двух линейных неравенств с одной переменной, в частности таких, которые записаны в виде двойных неравенств.