Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление несобственных интегралов по действительной оси
Если на комплексной плоскости особых точек лишь конечное количество, то существует самая дальняя из них (с наибольшим модулем). Тогда можно найти такой радиус , при котором все эти особые точки включены в полукруг, и при дальнейшем увеличении радиуса полукруга, новые точки в нём уже не могут появиться. По основной теореме о вычетах, интеграл по границе полукруга равен произведению на сумму вычетов во всех особых точках в верхнем полукруге. Граница состоит из двух частей: и , по отрезку движение влева направо, а по полуокружности против часовой стрелки. Тем самым, мы 1 раз обходим весь контур против часовой стрелки. Именно этим и объясняется, что надо рассматривать полукруг именно в верхней, а не нижней полуплоскости, а иначе движение по действительной оси получалось бы справа налево. Начиная с некоторого радиуса , при дальнейшем его увеличении, интеграл уже не будет меняться, потому что все особые точки верхней полуплоскости уже попали в полукруг, и других точек там нет. Если , то максимум модуля функции на полуокружности радиуса будет меньше чем . А так как её длина равна , т.е. интеграл = , эта величина стремится к 0 при . Таким образом, при неограниченном увеличении радиуса, интеграл по дуге уменьшается и стремится к 0. существенная часть приходится именно на интеграл по , то есть , который при как раз и стремится к . То есть, в пределе интегральная теорема Коши применяется к верхней полуплоскости, а её граница - это действительная ось. Таким образом, мы вывели следующий факт: Теорема. Если аналитическая на действительной оси, а также в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек, и при этом , то то есть несобственный интеграл по оси равен произведению на сумму вычетов во всех особых точках верхней полуплоскости. Пример. Вычислить . Во 2 семестре вычисляли такие несобственные интегралы, = = = = . А теперь покажем, как решить с помощью вычетов. Решение. Заметим, что степень числителя на 2 порядка больше, чем степеннь знаменателя, то есть выполнено. Надо, чтобы разность степеней бала хотя бы чуть больше 1, а она равна 2. Введём в рассмотрение функцию , которая на действительной оси как раз и совпадает с исходной функцией. Видно, что есть 2 полюса порядка 1, причём лишь один из них в верхней полуплоскости, а именно . Тогда
= = = = . Ответ. .
3) Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции, по отрезку длины . Рассмотрим ещё один метод, где комплексные числа и вычеты используются вспомогательно при интегрировании действительных функций. Пусть дан интеграл . При этом мы можем ввести замену . Учитывая формулу Эйлера, = , то есть образы это точки с координатами , т.е. отрезок длины отображается на окружность единичного радиуса. А интеграл по окружности в комплексной плоскости можно вычислять с помощью интегральной теоремы Коши и вычетов. При этом синус и косинус заменяются на таким образом: = = = = Надо ещё рассмотреть взаимосвязь дифференциалов. Если то = . Пример. Вычислить интеграл . Решение. Старый метод. Для сравнения, можно решить и старым методом, без комплексных чисел. Применим формулу понижения степени. = = = = = = . Новый метод. = = = , разобьём на сумму 3 интегралов: . В первом, аналитическая функция, не имеющая особых точек. Интеграл от неё по замкнутому контуру равен 0. Во 2-м и 3-м слагаемом, единственным полюсом является точка , но в одном из них полюс 3 порядка, а в другом 1 порядка. Там, где полюс 3-го порядка, надо вычислить 2-ю производную от числителя, но 2 производная от константы равна 0. И только в 3-м слагаемом при вычислении вычета остаётся ненулевой результат, потому что там полюс 1 порядка, и производную от константы считать не нужно. Подставлять в функцию, тождественно равную 2, тоже нет необходимости, ведь она равна 2 в любой точке. = = = . Ответ. .
ГЛАВА 2. РЯДЫ.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-22; просмотров: 256; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.133.117 (0.008 с.) |