Часть 2. Геометрическое моделирование.

Представление пространственных форм. Каркасная модель. Полигональные сетки.

Во многих приложениях машинной графики возникает потребность в представлении трехмерных форм. Совокупность отрезков не является адекватным описанием объекта, поскольку отрезки сами по себе не определяют поверхностей. В то же время информация о поверхностях необходима для проведения вычислений, связанных со стиранием скрытых частей изображения, для определения объемов и т. д. Таким образом, мы приходим к выводу, что для описания трехмерных форм необходимы поверхности – примитивы более высокого уровня, чем отрезки.

Каркасная модель

Каркасная модель — модель объекта в трёхмерной графике, представляющая собой совокупность вершин и рёбер, которая определяет форму отображаемого многогранного объекта.

Полигональная сетка

 

Полигональная сетка представляет собой совокупность ребер, вершин и многоугольников.

2 .Параметрические кривые, параметр, непрерывность.

В параметрическом виде каждая координата точки кривой представлена как функция одного параметра. Значение параметра задает координатный вектор точки на кривой. Для двумерной кривой с параметром координаты точки равны:

,

.

Тогда векторное представление точки на кривой:

.

Чтобы получить непараметрическую форму, нужно исключить из двух уравнений и вывести одно в терминах и .

Параметрическая форма позволяет представить замкнутые и многозначные кривые. Производная, т. е. касательный вектор, есть

,

где ' обозначает дифференцирование по параметру. Наклон кривой, , равен

.

Отметим, что при наклон бесконечен. Параметрическое представление не вызывает в этом случае вычислительных трудностей, достаточно приравнять нулю одну компоненту касательного вектора.

Так как точка на параметрической кривой определяется только значением параметра, эта форма не зависит от выбора системы координат. Конечные точки и длина кривой определяются диапазоном изменения параметра. Часто бывает удобно нормализовать параметр на интересующем отрезке кривой к . Осенезависимость параметрической кривой позволяет с легкостью проводить с ней аффинные преобразования, рассмотренные в гл. 2 и 3.

Самое простое параметрическое представление у прямой. Для двух векторов положения и параметрический вид отрезка прямой между ними такой:

, .

Так как это вектор, у каждой его составляющей есть параметрическое представление и между и :

, .

.