Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими

 

Нехай маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими

                                                                                   (1)

В даному пункті розглядатимемо лише такі системи.

Розв ’ язком такої системи називається вектор , де  – числа, для якого мають місце такі числові рівності:

Система може не мати розв’язків, може мати єдиний розв’язок, або мати більше одного розв’язку.

Приклади:

1).

Дана система розв’язків не має.

2).

Дана система має єдиний розв’язок

3).

Дана система має безліч розв’язків  де  – довільне число.

Справді,  і  для довільного числа .

Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними), якщо вони мають однакові множини розв’язків. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок.

Система рівнянь називається несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку, тобто множина розв’язків є порожня множина Ø.

 

Матриця  називається матрицею системи (1). Систему (1) зручно записувати в матричному вигляді

                                                                                                      (2)

де .

Форму (2) запису системи (1) називають матричною. Крім такої форми запису, зручно використовувати запис у вигляді розширеної матриці:

                           ,                                                   (3)

а також у векторній формі:

                                                                                                 (4)

де

 – стовпці матриці .

   Доведемо ряд важливих тверджень про розв’язки систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

   Лема 1. Якщо матриця  є неособливою, то система (1) має єдиний розв’язок.

    Доведення. Оскільки матриця  є неособливою, то для неї існує обернена матриця .

Зрозуміло, що вектор  – розв’язок системи (1). Справді, .

Покажемо, що це єдиний розв’язок системи (1). Справді, нехай  -  якийсь розв’язок системи (1). Тоді . Тоді , тобто . Це показує, що .

Лему доведено.

Лема 2. Якщо матриця  є особливою, то система  має ненульові розв’язки.

Доведення.

1). Нехай А ­­– нуль-матриця, тоді

Отже,  - ненульовий роз’язок системи

2). Нехай А – не є нуль-матрицею. Тому не всі  дорівнюють нулю.

 

 

Зрозуміло, що

і

    Оскільки не всі  дорівнюють нулю, то з останніх двох рівностей випливає, що система  має ненульові розв’язки.

Лему доведено.

    Теорема. Система (1) має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли матриця цієї системи неособлива.

    Доведення. З леми 1 випливає, що якщо А неособлива, то система (1) має єдиний розв’язок.

Навпаки. Нехай система (1) має єдиний розв’язок  Покажемо, що тоді система  має теж єдиний розв’язок (нуль-вектор).

Справді, припустимо, що ненульовий вектор  розв’язок . Тоді  – розв’язок системи (1). Справді,  Зрозуміло, що , бо     

   Отже, система (1) має принаймні два різні розв’язки. Суперечність.

   Отже, наше припущення хибне. Тому  має лише один розв’язок. За лемою 2 А – неособлива матриця.

Теорему доведено.

Наслідок. Система , де ,  має лише нульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли .