Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.

Теорема о связи функции, её предела и бесконечно малой функции.

8/9.Неопределенности. Способы раскрытия [0/0],[ ]

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;

2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;

2. Сокращение дроби.

Эквивалентные бесконечно малые и их использование при вычислении пределов.

Определение

Если , то бесконечно малые величины и называются эквивалентными ().

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

·

·

·

·

· , где ;

·

· , где ;

·

·

· , поэтому используют выражение:

, где .

Пример решения, заменой экв.:

Найти .

Решение:

Т.к. и при , то:

Теоремы об эквивалентных бесконечно малых функциях

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где — площадь сектора )

(из : )

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

·

·

·

·

Доказательства

Второй замечательный предел:

13.Таблица экв.бесконечно малых. Вывод соотношений

14. Таблица экв.бесконечно малых. Вывод соотношений ,

Сравнение б.м..Таблица экв. Б. м.

См. предыдущ. Билеты!