Описание данных, используемых при решении задачи

 

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда a = b и c = d;

2. суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число a + c + i(b + d);

3. произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число ac – bd + i(ad + bc).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

 

 

Модуль комплексного числа z обычно обозначается или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис. 1).

 

Рисунок1

 

Если то то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что  для всех При этом тогда и только тогда, когда

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

1. коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1 для любых .

2. ассоциативность сложения: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) для любых .

3. существует такое число z = 0, которое обладает свойством z + 0 = z для любого z .

4. для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.

5. коммутативность умножения: z1z2 = z2z1 для любых .

6. ассоциативность умножения: (z1z2)z3 = z1(z2z3)

для любых .

7. дистрибутивность сложения относительно умножения: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 для любых .

8. для любого комплексного числа z:z · 1 = z.

9. для любых двух чисел  и существует такое число z, что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается

Деление на 0 невозможно.

Все указанные свойства доказываются с помощью определения операций сложения и умножения.

Если число z = a + bi, то число  называется комплексно сопряжённым с числом z.

 

Рисунок2.

 

Пусть  и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

 

 

Отсюда получается

 

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).

 

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:

 

Первая формула Муавра:

 

 

Вторая формула Муавра:

 

 

Описание схемы программы

 

 

 

					Вычисление f2

 

 

Глава 3 РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО МОДУЛЯ