Внесение под знак дифференциала

 

Метод внесения под знак дифференциала основан на________________________________________________________

________________________________________________________

 

Прежде, чем переходить к примерам, отметим, что .

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Мы должны под знаком дифференциала получить новую переменную, введение которой позволит нам воспользоваться таблицей интегралов. Начнём постепенные преобразования, используя свойства дифференциала:

 

 

Пример 8. Самостоятельно найти интеграл .

 

 

Замена переменной

 

Метод замены переменной основан на________________________________________________

__________________________________________________________________________________

 

Метод замены переменной используется в случаях, когда интеграл от исходной функции можно представить, как 

 

Принцип замены переменой. _______________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Будем все необходимые преобразования и пояснения делать внутри примера, отделяя их прямыми скобками. Таким образом, прямо на этом примере покажем алгоритм замены переменной:

Этот же пример без словесных пояснений, как он и должен выглядеть при записи:

 

Пример 10. Самостоятельно найти интеграл .

 

 

Интегрирование по частям

 

Вывод формулы интегрирования по частям. ___________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Существует несколько типов интегралов вида  (где  - многочлен) для которых удобно использовать формулу интегрирования по частям. Приведём их в виде следующей таблицы.

Таблица 1.

	Заменяем на		Заменяем на
Оставшийся многочлен		Оставшийся многочлен и дифференциал

 

Пример 11. Найти интеграл .

Решение. Используем формулу интегрирования по частям и таблицу 1.

 

Можно этот пример решить, сразу используя внесение под знак дифференциала:

 

 

Пример 12. Самостоятельно найти интеграл .

 

Замечание!   Степень многочлена  показывает, сколько раз придётся интегрировать выражение. Например, если , формулу интегрирования по частям нужно применить дважды.

 

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен

           

Интегрирование выражений вида  и , где , строится на выделении полного квадрата в знаменателе подынтегральной функции. В общем виде данную процедуру можно представить следующим образом:

.

       После такого преобразования делают линейную замену  или используют метод подведения под знак дифференциала, благодаря чему подынтегральную функцию приводят к табличному виду (таблица интегралов, приложение 3).

       При интегрировании выражений вида  и , где , сначала в числителе выделяют дифференциал квадратного трехчлена :

.

       Благодаря такому действию исходный интеграл можно разбить на сумму двух интегралов, один из которых вычисляется методом замены переменной, а второй – с помощью выделения полного квадрата.

           

       Пример 13. Найти интеграл .

       Решение.