Движение без указания направления

58 (11.4). За 4 ч вертолет пролетел 400 км. За сколько часов вертолет пролетит 700 км? Построй схему рассуждения.

Условие оформим в виде таблицы:

Скорость	Время	Расстояние
Одинаковая	4 ч ?	400 км 700 км

Задачу можно решить двумя способами.

С п о с о б 1.

 

? 1) 400: 4 = 100 (км/ч)

2) 700: 100 = 7 (ч)

700:? 700: (400: 4) = 7 (ч)

 

400: 4

С п о с о б 2.

700 - 400: 4 1) 400: 4 = 100 (км/ч) – скорость вертолета,

2) 700 - 400 = 300 (км) – на столько больше

?:? расстояние пролетел вертолет во второй раз,

3) 300: 100 = 3 (ч) – на столько больше

4 +? времени затратил вертолет во второй раз,

4) 4 + 3 = 7 (ч) – затратил вертолет

? во второй раз.

Ответ: 7 часов.

59 (153.31). Поезд шел со скоростью 70 км/ч. До первой остановки он был в пути 2 ч, а от первой остановки до второй – 4 ч. Какое расстояние прошел поезд до второй остановки?

Краткая запись условия:

Скорость	Время	Расстояние
70 км/ч 70 км/ч	2 ч 4 ч	?

С п о с о б 1.

? 1) 2 + 4 = 6 (ч) – был в пути поезд,

2) 70 × 6 = 420 (км) – проехал поезд.

70.? 70 × (2 + 4) = 420 (км)

 

2 + 4

 

С п о с а б 2.

? 1) 70 × 2 = 140 (км),

2) 70 × 4 = 280 (км),

? +? 3) 140 + 280 = 420 (км)

70 × 2 + 70 × 4 = 420 (км).

70. 2 70. 4

Ответ: 420 километров

301.62.

Скорость	Время	Расстояние
12 км/ч 15 км/ч	? 4 ч	96 км

Ответ: 3 часа.

932.192 – аналогичная.

320.67.

Скорость	Время	Расстояние
28 км/ч ?	5 ч 8 ч	300 км

Ответ: 20 км/ч.

407.90.

Скорость	Время	Расстояние
? на? ?	6 ч 2 ч	72 км 100 км

Ответ: на 38 км.

830.174.

Скорость	Время	Расстояние
240 км/ч 180 км/ч	3 ч ? ?	Одинаковое

Ответ: 7 часов.

95.228.

Скорость	Время	Расстояние
? 45 км/ч	4 ч 3 ч	195 км

Ответ: 15 км/ч.

60 (116.232 ). Теплоход должен был пройти 640 км за 16 ч. Путь в 180 км он прошел со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью теплоход должен пройти оставшийся путь, чтобы успеть вовремя?

Скорость	Время	Расстояние
30 км/ч ?	? 16 ч ?	180 км 640 км ?

1) 180: 30 = 6 (ч) – затратил теплоход на первую часть пути,

2) 16 - 6 = 10 (ч) – оставшееся время,

3) 640 - 180 = 460 (км) – оставшееся расстояние,

4) 460: 10 = 46 (км/ч) – скорость на оставшемся расстоянии.

Ответ: 46 км/ч.

61 (837.175). Скорость автомобиля 60 км/ч, а велосипе- диста – в 5 раз меньше. Велосипедист проехал расстояние от своего села до железнодорожной станции за 2 ч 15 мин. За какое время можно проехать этот путь на автомобиле?

	Скорость	Время	Расстояние
Автомобиль Велосипед	60 км/ч ? в 5 раз меньше	? 2 ч 15 мин	Одинаковое

С п о с о б 1 основан на использовании обратно пропорциональной зависимости между скоростью и временем при постоянном расстоянии. Скорость велосипедиста в 5 раз меньше скорости автомобиля, а значит, время движения велосипедиста в 5 раз больше времени движения автомобиля, т.е. время движения автомобиля в 5 раз меньше времени движения велосипедиста. Получаем решение:

1) 2 ч 15 мин = 135 мин – время движения велосипедиста,

2) 135: 5 = 27 (мин) – время движения автомобиля.

При этом способе решения скорость автомобиля – лишнее данное.

С п о с о б 2 учитывает все заданные условием числа. Решение задачи этим способом усложняется в связи с переводом одних единиц измерения величин в другие.

1) 60: 5 = 12 (км/ч) – скорость велосипедиста,

12 км/ч = 12 000 м/ч = 200 м/мин,

2) 2 ч 15 мин = 135 мин,

3) 200 × 135 = 27 000 (м) – расстояние,

4) 60 км/ч = 60 000 м/ч = 1000 м/мин

5) 27 000: 1000 = 27 (мин) – время движения автомобиля.

Возможен и такой способ решения.

С п о с о б 3.

1) 60: 5 = 12 (км/ч) – скорость велосипедиста,

2) 12 × 2 = 24 (км) – проедет велосипедист за 2 ч,

3) 12: 4 = 3 (км) – проедет велосипедист за 15 минут

(четверть часа),

4) 24 + 3 = 27 (км) – всего проедет велосипедист

(и столько же автомобиль),

Автомобиль проходит 60 км за 60 минут (1 час), тогда 27 км он проедет за 27 минут.

Ответ: 27 минут.

62 (841.176). Мотоциклист проехал 4 ч по грунтовой дороге и 3 ч по шоссе. Весь путь составил 195 км. Скорость мотоциклиста на шоссе была на 30 км/ч больше скорости на грунтовой дороге. Найди обе скорости. Сделай чертеж.

	Скорость	Время	Расстояние
Грунт Шоссе	? ? на 30 км/ч больше	4 ч 3 ч	195 км

Условие можно смоделировать с помощью чертежа.

Пусть:

Скорость по грунтовой дороге

Скорость по шоссе 30 км/ч

Тогда получаем общий чертеж:

Грунт Шоссе

30 км/ч 30 км/ч 30 км/ч

 

195 км

1) 30 × 3 = 90 (км) – на столько больше проедет за 3 ч

мотоциклист по шоссе, чем проехал бы

за 3 ч по грунтовой дороге,

2) 195 - 90 = 105 (км) – проехал бы мотоциклист, если бы

вся дорога была грунтовая,

3) 4 + 3 = 7 (ч) – был в пути мотоциклист,

4) 105: 7 = 15 (км/ч) – скорость по грунтовой дороге,

5) 15 + 30 = 45 (км/ч) – скорость по шоссе.

Ответ: 15 км/ч, 45 км/ч.

63 (55.220). В 9 ч велосипедист выехал на шоссе и увидел на километровом столбе отметку с числом 297. В 12 ч он остановился отдохнуть у столба с отметкой 339. За сколько часов он пройдет остаток пути, если будет ехать с той же скоростью?

Условие задачи сопровождается рисунком, по которому можно определить длину каждого отрезка пути как разницу между показателями на столбах: (339 - 297) и (367 - 339). Можно также определить время, которое затратил велосипедист на первую часть пути: 12 - 9. Сведем все данные в таблицу:

	Скорость	Время	Расстояние
Первая часть Вторая часть	Одинаковая	(12-9) ч ?	(339 - 297) км (367 - 339) км

1) 12 - 9 = 3 (ч) – затратил велосипедист на первую

часть пути,

2) 339 - 297 = 42 (км) – длина первого участка пути,

3) 367 - 339 = 28 (км) – длина второго участка пути,

4) 42: 3 = 14 (км/ч) – скорость велосипедиста,

5) 28: 14 = 2 (ч) – затратил велосипедист на

вторую часть пути.

Ответ: 2 часа.

64 (62.222). Расстояние от дома до школы 1 км 200 м. По дороге в школу Олег прошел 1 км за 1/3 часа. На остальной путь у него осталось 7 мин. Успеет ли мальчик на первый урок, если будет идти с той же скоростью?

Для удобства вычислений приведем в порядок единицы измерения: 1/3 ч = 20 мин, 1 км = 1000 м, 1 км 200 м = 1200 м.

Ответить на вопрос задачи можно по-разному.

С п о с о б 1. Надо сравнить расстояние, которое мальчику надо пройти до школы (1200 м) с расстоянием, которое он сможет пройти при заданных условиях.

Скорость	Время	Расстояние
Одинаковая	20 мин 7 мин	1000 м ?

Решение.

1) 1000: 20 = 50 (м/мин) – скорость мальчика,

2) 50 × 7 = 350 (м) – сможет пройти мальчик за 7 мин,

3) 1000 + 350 = 1350 (м) – сможет всего пройти мальчик,

4) 1350 м > 1200 м, поэтому мальчик успеет на первый урок.

С п о с о б 2. Сравним оставшееся время (7 минут) и время, которое затратит мальчик на оставшийся путь.

 

Скорость	Время	Расстояние
Одинаковая	20 мин ?	1000 м 200 м

1) 1000: 20 = 50 (м/мин) – скорость мальчика,

2) 200: 50 = 4 (мин) – понадобится мальчику, чтобы

пройти оставшиеся 200 м,

3) 4 мин < 7 мин, поэтому мальчик успеет на первый урок.

65 (15.212). От города до пристани 125 км. В какое время надо выехать мотоциклисту из города, чтобы успеть на теплоход, который отправляется в 16 ч 30 мин, если ехать со скоростью 50 км/ч?

Условие можно представить в виде двух частей:

Начало движения –?

Конец движения – 16 ч 30 мин

Скорость	Время	Расстояние
50 км/ч	?	125 км

Решение.

1) 125: 50 = 2 (ост. 25), 125 км = 50 км × 2 + 25 км.

Мотоциклисту понадобится 2 ч, чтобы проехать 100 км, и еще некоторое время, чтобы проехать 25 км. За 1 ч (60 мин) мотоциклист проезжает 50 км, значит, 25 км он проедет за 30 мин.

3) 2ч + 30 мин = 2 ч 30 мин – понадобится мотоциклисту на

путь от города до пристани,

5) 16 ч 30 мин - 2 ч 30 мин = 14 (ч)

Ответ: мотоциклист должен выехать не позднее 14 часов.

16.213 – аналогичная.

66 (102.229). Поезд прошел первую часть маршрута в 180 км со скоростью 60 км/ч. На остальной путь при той же скорости ему потребовалось на 4 ч больше. Определи длину всего маршрута.

Условие задачи можно представить таблицей или чертежом:

	Скорость	Время	Расстояние
I II	60 км/ч 60 км/ч	? ? на 4 ч больше	180 км ? ?

 

I 180 км

 

II 60 км 60 км 60 км 60 км

С п о с о б 1.

1) 180: 60 = 3 (ч) – потребовалось на первую часть маршрута,

2) 3 + 4 = 7 (ч) – потребовалось на вторую часть маршрута,

3) 60 × 7 = 420 (км) – длина второй части,

4) 180+ 420 = 600 (км) – длина всего маршрута.

С п о с о б 2.

1) 60 × 4 = 240 (км) – на столько больше вторая часть маршрута,

чем первая,

2) 180 + 240 = 420 (км) – длина второй части,

3) 180+ 420 = 600 (км) – длина всего маршрута.

С п о с о б 3.

180 × 2 + 60 × 4 = 600 (км)

Ответ: 600 километров – длина всего маршрута.

2. Встречное движение. При решении задач следует учитывать, что кроме основных величин (скорость, время, расстояние) встречное движение характеризует дополнительная величина: скорость сближения (см. 3 класс). Она равна сумме скоростей движущихся объектов.

67 (91.18). Расстояние между селами 18 км. Из одного села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. В то же время ему навстречу из другого села вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через какое время они встретятся?

Процесс движения пешеходов покажем чертежом:

 

4 км/ч 5 км/ч

18 км -? ч

 

Пешеходы вышли одновременно, поэтому до момента встречи они были в пути одинаковое время. Сумма расстояний, пройденных каждым из пешеходов до встречи, составляет все расстояние между селами – 18 км.

Занесем выделенные значения величин в таблицу:

 

Скорость	Время	Расстояние
4 км/ч 5 км/ч	?	18 км

1) 4 + 5 = 9 (км/ч) – скорость сближения пешеходов (расстояние,

которое вместе прошли оба пешехода за 1 ч),

2) 18: 9 = 2 (ч) – время, за которое пешеходы вместе прошли 18 км (время, которое затратил каждый из пешеходов до встречи).

Ответ: пешеходы встретятся через 2 ч.

462.103.

Скорость	Время	Расстояние
62 км/ч	?	310 км
62 км/ч 57 км/ч	?	(1262 - 310) км

Ответ: 13 часов.

68 (120.23) Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 600 км, и встретились через 5 ч. Скорость одного автомобиля 70 км/ч. Найди скорость второго автомобиля.

Условие задачи покажем таблицей и чертежом:

 

? 70 км/ч

600 км

Скорость	Время	Расстояние
70 км/ч ?	5 ч 5 ч	600 км

Решение.

С п о с о б 1.

? 1) 70 × 5 = 350 (км) – прошел первый автомобиль

до встречи,

?: 5 2) 600 - 350 = 250 (км)–прошел второй автомобиль

до встречи,

600 -? 3) 250: 5= 50 (км/ч) – скорость второго

автомобиля,

70. 5

С п о с о б 2.

600: 5 1) 600: 5 = 120 (км/ч) – скорость сближения,

2) 120 - 70 = 50 (км/ч) – скорость второго

? - 70 автомобиля.

 

?

Ответ: 50 км/ч.

637.138, 833.174., 437.97 – аналогичные.

866.180.

Скорость	Время	Расстояние
26 км/ч ? на 8 км/ч меньше	Одинаковое	? 396 км ?

Ответ: 234 км, 162 км.

69 (501.112). От пристани А до пристани В, расстояние между которыми 1771 км, отошел теплоход со скоростью 27 км/ч. Через 2 ч навстречу ему от пристани В отошел катер, скорость которого на 9 км/ч больше, чем скорость теплохода. Сколько километров им осталось пройти до встречи через 12 ч после выхода катера?

Условие задачи оформим таблицей:

Скорость	Время	Пройденное расстояние
27 км/ч 27 км/ч ? на 9 км/ч больше	2 ч 12 ч 12 ч	? ? ? ?

Было расстояние – 1771 км

Пройдено –?

Осталось пройти --?

С п о с о б 1.

1) 27 × 2 = 54 (км) – прошел теплоход за 2 ч,

2) 1771 - 54 = 1717 (км) – расстояние, которое преодолевали

теплоход и катер вместе,

3) 27 + 9 = 36 (км/ч) – скорость катера,

4) 27 + 36 = 63 ((км/ч) – скорость сближения,

5) 63 × 12 = 756 (км) – прошли вместе теплоход и катер

за 12 ч,

6) 1717 - 756 = 961 (км) – осталось пройти.

С п о с о б 2.

1) 27 × 2 = 54 (км) – прошел теплоход за 2 ч,

2) 27 × 12 = 324 (км) – прошел теплоход за 12 ч,

3) 54 + 324 = 378 (км) – прошел всего теплоход,

4) 27 + 9 = 36 (км/ч) – скорость катера,

5) 36 × 12 = 432 (км) – прошел катер за 12 ч,

6) 378 + 432 = 810 (км) -- прошли вместе теплоход и катер,

7) 1771 - 810 = 961 (км) – осталось пройти.

Можно получить и другие способы решения, выполнив по-другому отдельные действия.

Ответ: осталось пройти 961 километр.

70 (126.233). Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Один из них проходит это расстояние за 20 ч, а другой – за 30 ч. Через какое время поезда встретятся?

Условие можно оформить таблицей:

	Скорость	Время	Расстояние
Первый Второй Вместе	? ? ?	20 ч 30 ч ?	1200 км 1200 км 1200 км

Решение.

? 1) 1200: 20 = 60 (км/ч) – скорость первого

поезда,

1200:? 2) 1200: 30 = 40 (км/ч) – скорость второго

поезда,

? +? 3) 60 + 40 = 100 (км/ч) – скорость сближения,

поездов,

1200: 20 1200: 30 4) 1200: 100 = 12 (ч) – понадобится поездам

до встречи.

Ответ: поезда встретятся через 12 часов.

71 (919.190). Числа, заданные условием задачи, не удобны для вычислений. Возможен такой вариант условия: Велосипедист может проехать расстояние от города А до города В за 6 ч, а мотоциклист – за 3 ч. Расстояние между городами 90 км. Если велосипедист выедет из А, а мотоциклист из В, то через какое время они встретятся?

	Скорость	Время	Расстояние
Велосипедист	?	6 ч	90 км
Мотоциклист	?	3 ч	90 км
Вместе	?	?	90 км

Задачу можно решить разными способами (см. задачи 52, 70)

Ответ: 2 часа.

72 (92.227). Коля и Саша вышли навстречу друг другу с одинаковой скоростью – 80 м/мин. Расстояние между ними было 960 м. Сашина собака бежала в 4 раза быстрее, чем шел мальчик. Собака все время бегала от одного мальчика к другому. Сколько метров пробежала собака, пока ребята встретились?

Анализируя условие задачи, отмечаем:

* скорость мальчиков одинаковая,

* скорость собаки в 4 раза больше скорости каждого из мальчиков;

* время движения собаки такое же, как время движения мальчиков до встречи.

Процесс встречного движения мальчиков покажем чертежом:

80 м/мин 80 м/мин

 

960 м

Чтобы найти расстояние, которое пробежала собака, надо знать ее скорость и время движения. Обе величины неизвестны. Скорость можно найти, зная скорость мальчиков и то, что скорость собаки в 4 раза больше. Время движения собаки такое же, как время движения мальчиков. Чтобы его найти, надо решить задачу о встречном движении мальчиков.

Задачу можно решить разными способами.

С п о с о б 1.

1) 80 × 2 = 160 (м/мин) – скорость сближения мальчиков,

2) 960: 160 = 6 (мин) – время движения мальчиков до

встречи и время движения собаки,

3) 80 × 4 = 320 (м/мин) – скорость собаки,

4) 320 × 6 = 1920 (м) – пробежала собака.

С п о с о б 2.

1) 960: 2 = 480 (м) – прошел каждый из мальчиков

до встречи,

2) 480: 80 = 6 (мин) – время движения мальчиков до

встречи и время движения собаки,

3) 80 × 4 = 320 (м/мин) – скорость собаки,

4) 320 × 6 = 1920 (м) – пробежала собака.

С п о с о б 3. Так как скорость собаки в 4 раза больше скорости мальчиков, то за одинаковое время она пробежала расстояние в 4 раза большее, чем каждый из мальчиков.

1) 960: 2 = 480 (м) – прошел каждый из мальчиков

до встречи,

2) 480 × 4 = 1920 (м) – пробежала собака.

Ответ: 1920 метров.