![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Обчислення подвійних інтегралів
Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Оу (див. мал. 1, а), то її аналітично можна описати нерівностями виду
і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:
Якщо область D на площині хОу правильна в напрямку осі Ох (див. мал. 1, б), то її аналітично можна описати нерівностями виду
і подвійний інтеграл зводиться до повторного за формулою:
Якщо область D на площині хОу правильна в напрямі осі Оу і в напрямі осі Ох (див. мал. 1, в), тоді мають місце рівності:
які означають, що подвійний інтеграл в цьому випадку можна обчислити за формулою (2) або (4). Для обчислення повторного інтеграла треба спочатку за формулою Ньютона-Лейбніца знайти внутрішній інтеграл за відповідною змінною інтегрування, а потім обчислити зовнішній інтеграл за іншою змінною інтегрування.
Y Y
c
в) D Мал.1
X Приклад 2. Визначити сумарний заряд Q пластинки, що обмежена лініями у = х 2, у 2 = х, 4 х + 4 у – 3 = 0, якщо щільність розподіленого поверхневого заряду Розв’язання. Згідно фізичному значенню інтеграла по області маємо:
Область інтегрування D зображена на мал. 2. Щоб одержати аналітичний опис заданої пластинки у вигляді нерівностей (3) розіб’ємо D на дві частини D 1 та D 2 прямою
y
Мал.2
З малюнка 2 одержуємо аналітичний опис областей:
Для цього в кожній області спочатку визначили сталі межі змінної у, а потім – нерівності для х шляхом визначення значень х, якщо рухатися через область за напрямом осі Ох. Отже,
Заміна змінних в подвійному інтегралі
При заміні змінних: називають функціональним визначником або якобіаном, а його модуль називають коефіцієнтом спотворення області. Отже, якщо функції
Часто для обчислення подвійних інтегралів використовують полярні координати: Перехід в подвійному інтегралі до полярних координат доцільно використовувати в тих випадках, коли підінтегральна функція залежить від х 2 + у 2 або від Приклад 3. Обчислити інтеграл Розв’язання. Область інтегрування D зобразимо на мал. 3.
Підставимо в нерівність Отже
Зауваження. При переході до полярних координат в подвійному інтегралі треба враховувати, що в точці О(0,0) якобіан дорівнює нулю. Так, для області D, що зображена на малюнку 4, перехід до повторного інтегралу приймає вид:
Мал. 4 |
![]() |
1. Обчислити повторні інтеграли:
а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
; е)
.
2. Записати рівняння ліній, що обмежують області інтегрування заданих інтегралів та зобразити ці області:
а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
.
3. Перейти від подвійного інтеграла до повторного:
а) D – трикутник з вершинами O (0, 0), А (1, 0), В (1, 1).
б) D – трапеція з вершинами O (0, 0), А (2, 0), В (1, 1), С (0, 1).
в) D – паралелограм з вершинами А (1, 5), В (2, 4), С (2, 7), D (1, 5).
г) D – параболічний сегмент, що обмежений параболою
у = х 2 та відрізком, який з’єднує точки параболи В (–1, 2) та
А (1, 2).
д) D – кругове кільце, що обмежене колами радіусів r = 1 та R = 3 із загальним центром O (0, 0).
4. Змінити порядок інтегрування
а) ; б)
; в)
.
5. Обчислити інтеграл , якщо
а) D – трикутник з вершинами O (0, 0), А (1, 1) та В (0, 1);
б) D – обмежена прямою, що проходить через точки
А (2, 0) та В (0, 2), і дугою кола з центром в точці С (0, 1), радіуса 1.
6. Обчислити інтеграл , де D – область, що обмежена лініями у 2 = х, х = 0, у = 1.
7. Обчислити , де D – область, що обмежена лініями
, у = х.
8. Використовуючи перехід до полярних координат, обчислити інтеграли:
а) , D – півкруг радіуса а з центром в початку координат, що лежить вище осі Ох.
|
б) ;
в) , D – визначається нерівностями
г) , D – частина кільця
д) , D – круг
.
| Поделиться: |
Читайте также:
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-07; просмотров: 353; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.174.111 (0.028 с.)