Cвойства функции распределения

Дадим геометрическую интерпретацию функции распределения:

 

х

Будем рассматривать СВ Х как случайную точку Х на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда F (x) есть вероятность того события, что случайная точка Х в результате опыта попадёт левее точки х, где т.е.

F (x) = Р (- ∞≤ Х < х).

 

1)Будем увеличивать х, т.е. перемещать точку х вправо по оси абсцисс. При этом вероятность того, что случайная точка X попадёт левее х, не может уменьшиться. Функция распределения F (x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при х ₂ > х ₁ F (x ₂) ≥ F (x ₁).

 

2)Будем неограниченно перемещать точку х влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки Х левее х в пределе ставится невозможным событием, а следовательно вероятность этого события стремится к нулю.

На минус бесконечности функция распределения равна нулю

 

F (- ∞) = 0.

 

3) На плюс бесконечности функция распределения равна 1

 

F (+ ∞) = 1.

 

Неограниченно перемещая точку х вправо, убеждаемся в этом свойстве, т.к. событие Х < х становится достоверным.

 

 

Существует ещё т.н. непрерывно – дискретная смешанная СВ, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках держит разрывы (например выработка мощности несколькими агрегатными станциями).

 

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок.

Это событие заключается в том, что СВ примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от а до b, где (а< b)

 

Условимся левый конец а включать в участок (а, b), а правый b не включать.

Тогда попадания СВ Х на участок равносильно выполнению неравенства

 

а ≤ Х < b

 

Выразим вероятность этого события через функцию распределения F (x).

Рассмотрим три события:

А, состоящее в том, что Х< b

В, состоящее в том, что Х< а

С, состоящее в том, что а ≤ Х< b

 

Событие А = В + С, где события, В и С – несовместные события.

По правилу сложения вероятностей P (X < b) = P (X < a) + P (a ≤ X < b)

P (a ≤ X < b) = F (b) – F (a)

 

 

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна разности значений функции распределения на концах этого участка.

Будем неограниченно уменьшать участок , полагая, что b a, в пределе получим вероятность того, что случайная величина примет отдельно взятое значение а.

 

P ,

Если СВ и F(x) в точке а непрерывна, то вероятность того, что непрерывная СВ примет заданное значение, равна нулю.

P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤b)

Если СВ дискретна, то Р (Х= а) = Р

Функция распределения вероятностей является исчерпывающей характеристикой СВ. Две СВ с одинаковыми функциями распределения называются эквивалентными.