Кинетика реакций первого порядка

Реакциями первого порядка называются процессы, скорость которых зависит от одной концентрации. Простейшие случаи такою уравнения:

(1)

Кинетические уравнения запишутся так:

(2)

Решение этой системы уравнений также несложно. Для первого уравнения, интегрируя, получим

Из начальных условий (при и ) следует, что .

Выражение для проще всего найти из условия сохранения общей массы вещества в закрытой системе: в любой момент времени , откуда

Обратимся к примерам.

Одним из наиболее эффективных методов изучения метаболических процессов является метод меченых атомов - радиоактивных изотопов. Важной особенностью радиоактивного распада является то обстоятельство, что процесс зависит только от природы атомного ядра и совершенно нечувствителен к состоянию атома и химическим связям, которые он образует. Поэтому количество атомов изотопа, распадающихся в единицу времени, зависит лишь от наличного их количества к данному моменту времени, т. е. описывается уравнением

Что дает

где – начальное количество изотопа; λ – постоянная радиоактивного распада.

Скорость распада в практических целях характеризуется временем , за которое исходное количество изотопа уменьшилось наполовину:

откуда – период полураспада.

Размножение и рост являются сложными процессами, связанными с различными внутренними и внешними параметрами. Они могут быть совершенно разными для единичных клеток, органон, организмов, культуры микробов пли популяции животных. Чтобы использовать эти параметры для получения некоторых общих соотношений и предсказаний, имеется только одна возможность – математизация результатов измерении. Так, почти во всех случаях роста можно наблюдать, различной степени длительности стадию экспоненциального развития с характерной постоянной роста. Последняя позволяет сравнить процесс роста у различных организмов или различные ситуации при росте.

Если изменение скорости возрастания числа клеток пропорционально наличному числу клеток , то простейшей кинетической моделью размножения будет уравнение

Его решение:

Это известное уравнение Мальтуса. Здесь - так называемая константа роста, которая связана со временем жизни одного состояния системы соотношением , – число клеток в начальный момент времени.

Более общим случаем реакции первого порядка является процесс, который может идти к обоих направлениях с константами скоростей k₁ и k_-1:

(3)

Уравнения скоростей реакции имеют вид:

(4)

Зададим начальные условия: при и и условие замкнутости системы: в любой момент времени . Воспользовавшись последним

условием, первое из уравнений (4) запишем так:

Решение однородного уравнения

дает

Частное решение неоднородного уравнения с постоянной правой частью
ищем в виде (постоянная), что дает после его подстановки в уравнение

так что общее решение запишется так:

Из начальных условий находим константу интегрирования и окончательно получаем

Для решения второго уравнения (4) можно проделать те же операции или воспользоваться тем, что и получить