Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Частотные характеристики колебательного звена ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
По формуле (14) передаточной функции звена W(р) = АФХ можно записать в виде . (40) Вещественная частотная характеристика . (41) Мнимая частотная характеристика . (42) Амплитудно-частотная характеристика . (43) Фазо-частотная характеристика . (44) На рис. 17 изображена АФХ звена. Она начинается на вещественной оси в точке с абсциссой, равной k. Вид АФХ определяется величиной отношения постоянных времени T1/T2. Чем больше это отношение, тем меньше колебательность звена. При Т1/Т2>2 колебательное звено превращается в соединение из двух апериодических звеньев. При T1/T2=0 степень затухания ψ (23) будет равна нулю и возникшие в звене колебания будут незатухающими с собственной частотой колебаний, равной ω0 = 1/T2. В этом случае мы получаем консервативное звено. Амплитудно-фазовая характеристика консервативного звена определяется выражением . (45) Графически эта характеристика при изменении входной частоты ω от 0 до ∞ имеет вид двух полупрямых (рис. 17). Первая полупрямая начинается при ω=0 на вещественной положительной полуоси в точке k и при возрастании ω до ω=ω0 уходит в бесконечность по вещественной полуоси в положительном направлении. Вторая полупрямая совпадает с отрицательной вещественной полуосью. Начало полупрямой - в бесконечности при ω=ω0, а конец - в начале координат при ω=∞. Определяя первую производную АЧХ по частоте и приравнивая полученное выражение нулю, находим: . Отсюда вытекает, что или . Из этого уравнения находим значения частот, при которых АЧХ имеет экстремумы ; . (46) Из выражения (43) следует, что при ω = ω1 = 0 АЧХ равна коэффициенту усиления звена и не зависит ни от значений постоянных времени Т1 и Т2, ни от их соотношения. Второе вещественное экстремальное значение W(ω) имеется только при >0, т. е. при T1/T2< =1,41. При этом чем больше отношение постоянных времени приближается к значению T1/T2= , тем ближе подходит вторая точка экстремума к первой. При T1/T2 АЧХ имеет только один экстремум при ω1 = 0. Так как при изменении ω от 0 до ∞ АЧХ (43) стремится к нулю, то при T1/T2 экстремальная точка является максимумом кривой W(0). Рассмотрим второй экстремум кривой W(ω), появляющийся при T1/T2< . Подставив в выражение (43) величину ω2 из формулы (46), найдем:
. Полагая , получим: . (47) При T1/T2< имеем: α<2 и α/2<1; величина α/2<1 - правильная дробь и притом подкоренное выражение всегда меньше единицы; следовательно, корень в знаменателе выражения (47) - правильная дробь и W(ω2)>W(0). Таким образом, при возрастании ω от ω1=0 до ω2 АЧХ тоже возрастает, начиная со значения k при ω =0, и при ω2 достигает максимума, равного [см. формулу (47)] . Частота ω2 является собственной частотой колебаний звена. При дальнейшем увеличении частота АЧХ стремится к нулю. Амплитудно-частотные характеристики колебательного звена для различных значений постоянных времени представлены на рис. 18. При уменьшении отношения T1/T2 максимум АЧХ увеличивается, увеличивается и значение частоты, при котором наступает этот максимум, приближаясь к собственной частоте колебаний консервативного звена ω0. При T1/T2 =0 максимум W(ω) равен бесконечности на частоте ω=ω0=1/T2. При этом колебательное звено превращается в консервативное. На рис. 18,б представлена ФЧХ φ(ω). Все характеристики φ(ω) для различных отношений T1/T2 равны нулю при ω=0, равны -π/2 при частоте ω=ω0 и стремятся к - π при частоте ω ∞. Так как φ(ω) отрицательна, то выходные колебания во всем диапазоне изменений ω отстают от входных колебаний. При T1=0 фаза выходных колебаний совпадает с фазой входных колебаний в диапазоне изменений ω от 0 до ω0. При ω=ω0 происходит изменение фазы скачком от φ(ω)=0 до φ(ω)=-π и в диапазоне изменений ω от ω0 до ω =∞ фаза выходных колебаний отстает от фазы входных колебаний на π. Из частотных характеристик колебательного звена следует, что при малых частотах входных колебаний (ω ≈0) оно по своим свойствам приближается к усилительному звену, а при больших частотах входных колебаний вообще не пропускает сигнала. Логарифмируя выражение (43), находим: (48) или . (49) На рис. 19 по выражению (49) при k=1 для различных отношений T1/T2 приведены ЛАЧХ звена в относительных частотах ω / ω0 = T2ω. Из рис. 19 видно, что ЛАЧХ при низких частотах приближаются к асимптоте, совпадающей с вещественной осью, а при высоких частотах - к асимптоте в виде прямой с наклоном - 40 дб/дек.
Это также следует из выражения (49). Так, при ω / ω0 ≈0 находим аналитическое выражение для первой асимптоты: . При k = 1 = 0. При больших значениях частот, когда (ω / ω0)4>>(ω / ω0)2, можем записать . При k = 1 = - 40lg (ω / ω0). Следовательно, в логарифмическом масштабе является прямой с наклоном - 40 дб/дек, пересекающей вещественную ось при ω / ω0 = 1. Так как первая асимптота совпадает с вещественной осью, то сопряжение асимптот происходит при относительной частоте ω / ω0 = 1. Абсолютное значение частоты при этом равно ω = ω0 = 1/T2. Из выражения (48) следует, что при k ≠ 1 вид ЛАЧХ сохраняется, но они только перемещаются параллельно оси абсцисс на величину 20lgk. На рис. 19 видно, что реальные ЛАЧХ звеньев, у которых 0,8 < T1/T2 < l,4, могут быть заменены приближенной ЛАЧХ с погрешностью, не превышающей 3 дб. Для звеньев, у которых это отношение находится внеуказанных пределов, необходимо строить точные ЛАЧХ. Это можно сделать или по выражению (49), или же графически с помощью кривых поправок к приближенной (асимптотической) ЛАЧХ, представленных на рис. 20. Логарифмические фазо-частотные характеристики представлены на рис. 21. При T1/T2>2 колебательное звено (14) представляется двумя соединенными последовательно апериодиче скими звеньями с передаточными функциями и . При этом передаточная функция соединения имеет вид , (50) где T3 = 1/α1 и Т4 = 1/α2, здесь - α1 и - α2 - корни характеристического уравнения (15), определяемые выражением (16). Из выражения (50) с учетом (36) и (39) получим: . (51) При Т3<Т4 сопряженными частотами асимптотической ЛАЧХ являются ω1=1/T4 и ω2=1/Т3. При T1/T2>2 ЛАЧХ представляет собой ломаную линию, образованную: отрезком прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей от нее на расстоянии 201gk при ω≤ ω1=1/Т4 ; прямой с наклоном - 20 дб/дек на отрезке с частотами 1/Т4≤ω≤1/Т3; лучом прямой с наклоном - 40 дб/дек при 1/Т3≤ω→∞ (рис. 22). Из выражения (50) с учетом (37) находим ФЧХ звена: . (52) Логарифмическую фазо-частотную характеристику можно также аппроксимировать в виде ломаной линии. При ω=0 составляющая ЛФЧХ φ1(ω) = -arctgT3ω = 0. При ω = 0,1/T3 φ1(ω) = -arctg0,l = -6°. При ω = 10/T3 φ1(ω) = -arctg10 = -84°, а при ω = ∞ φ1(ω) = -90°. Следовательно, на участке частот 0≤ω≤0,1/T3 составляющая φ1(ω) монотонно уменьшается от 0 до -6°. На участке 10/T3≤ω→∞ она уменьшается от -84 до -90°. С учетом этого можно принять φ1(ω) ≈ 0 в интервале частот 0≤ω≤0,1/T3 и φ1(ω) ≈ -90° в интервале частот 10/T3≤ω→∞. Так как интервал частот 0,1/T3≤ω≤10/T3 равен двум декадам, то на нем φ1(ω) можно аппроксимировать в виде прямой с наклоном - 45 °/дек. Таким же образом можно аппроксимировать составляющую ЛФЧХ φ2(ω) = -arctgT4ω в интервалах частот 0≤ω≤0,1/T4; 0,1/T4≤ω≤10/T4; 10/T4≤ω→∞. Так как ЛФЧХ приближенно выражается в виде суммы аппроксимированных составляющих φ1(ω) и φ2(ω) (пунктирные линии на рис. 22), то передаточная функция соединения (50) при T1/T2>2 и 0,1/T3 < 10/T4 может быть приближенно представлена в виде ломаной линии с отрезками прямых: ω≤0,1/T4 - прямая φ(ω) = 0;
0,1/T4≤ω≤0,1/T3 - прямая с наклоном - 45°/дек; 0,1/T3≤ω≤10/T4 - прямая с наклоном - 90°/дек; 10/T4≤ω≤10/T3 - прямая с наклоном - 45°/дек; ω≤0,1/T4 - прямая φ(ω) = 0;
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 168; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.41.236 (0.018 с.) |