Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
С неоднородностями в уравнении
ИЛИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ Будем рассматривать смешанную задачу
и будем искать ее решение в виде суммы двух функций u (x,t) =v (x,t) +w (x,t), которые находятся из решения более простых задач. Функция v (x,t) у довлетворяет неоднородному уравнению с нулевыми граничными и начальными условиями Соответственно функция w (x,t) есть решение смешанной задачи Нам нужно решать только штрихованную задачу (43¢) (45¢), посколь- ку задача (43¢¢) (45¢¢) совпадает с уже решенной в § 1 смешанной задачей (31) (33), и следовательно (см.(40) (42)) (46) Функцию v (x,t) следует разыскивать в виде ряда по собственным функ-
циям задачи (7-8) Штурма Лиувилля: (47) где vk (t)нужно определить, используя соотношения(43¢) и (45¢). Гранич-ные условия (44¢) для функции v (x,t), очевидно, выполнены. В свою очередь функцию f (x,t) разложим в ряд Фурье так, что Подставляя (47) и (48) в (43¢) получаем тождество и, стало быть, при всех t (49) После подстановки (17) в (14¢) найдем начальные условия для функций (50) Линейное дифференциальное уравнение (49) с присоединенными к нему начальными условиями (50) образуют стандартную задачу Коши, решение которой существует и единственно при данном k. Более того, нетрудно проверить, что решение задачи (49) (50) дается формулой и подставляя ее в (48), получим решение штрихованной задачи (51) Складывая (46) и (51), найдем решение исходной задачи (43) (45). Теперь займемся смешанной задачей для неоднородного уравнения с неоднородными граничными условиями Простой прием позволяет свести данную задачу к уже исследованной задаче (43) (45). Действительно, и на этот раз полагая u (x,t) = v (x,t) + w (x,t), где v (x,t)новая неизвестная функция, перейдем к задаче Мы не уточняем конкретные выражения функций , но ясно, что они находятся через Возьмем теперь функцию w (x,t)такой, чтобы выполнялись соотношения (55) нам подойдут в частности При выполнении условий (55) штрихованная задача (52¢) (54¢) переходит в уже решенную задачу (43) (45). 174. Жестко закрепленный в точке х =0 стержень l находится в состоянии покоя. В момент t =0 к его концу x=l приложена сила Q, действующая вдоль стержня. Найти смещение точек стержня u (x,t) при t >0. Р е ш е н и е. Текстовая задача равносильна смешанной задаче где Е – модуль упругости; и d - площадь поперечного сечения стержня.
Здесь нужно сделать замену тогда неоднородность переместится в начальные условия и функция v (x,t)будет решением простейшей смешанной задачи Как и при решении задачи 145, найдем, что и подставляя ряд в первое начальное условие, будем иметь Из второго начального условия вытекает, что поэтому окончательный ответ 175. Решите задачу о вынужденных продольных колебаниях стержня, закрепленного в конце х =0 и подверженного на другом конце x=l, дейст- вию возмущающей силы, которая вызывает смещение В момент времени t =0 смещение и скорости отсутствуют. Р е ш е н и е. Отклонение точек стержня u (x,t) от положения равнове -сия будет решением смешанной задачи
Решение этой задачи нужно искать в виде суммы , и относительно новой неизвестной функции v (x,t) будем иметь простей- шую смешанную задачу Ее решение будет представлено в виде ряда (см. решение задачи 144) причем из первого начального условия вытекает, что Аk =0, а из второго начального условия следует
Все коэффициенты найдены, и тогда ответ будет иметь вид 176. Решите уравнение вынужденных колебаний
при нулевых начальных и граничных условиях Р е ш е н и е. Нужно решать смешанную задачу Решение ищем в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям: Правую часть уравнения также раскладываем в ряд Фурье
Подставляем эти ряды в исходное дифференциальное уравнение: Из начальных условий для u (x,t) вытекает т.е. нужно теперь решить задачи Коши Если k= 2 m четное, то решением задачи Коши будет тривиальное решение uk º0. Если же k= 2 m+ 1 нечетное, то дифференциальное урав- нение имеет частное решение в виде полинома В таком случае общее решение будет иметь вид
Из условия uk (0)=0 вытекает, что
Из второго условия получим, что Dk =0. Итак, при нечетных k решением задачи Коши будет функция и соответственно решение рассматриваемой смешанной задачи примет вид 177. Решите задачу о продольных колебаниях u (x,t) стержня, подвешен -ного в концевой точке х= 0, совершаемых под влиянием силы тяжести, ес-ли Р е ш е н и е: Здесь нужно рассматривать смешанную задачу
Вводим новую неизвестную функцию v (x,t), полагая u (x,t) = v (x,t) + w (x) и выбирая w (x) такой, чтобы для функции v (x,t) получить однородное уравнение и однородные граничные условия. Для этого нужно потре- бовать и далее выбрать константы из условий В итоге получим, что и для таким образом подобранной функции w (x) относительно v (x,t) найдем простейшую смешанную задачу Ее решение (как и в задаче 174) отыскивается в виде ряда с неопреде- ленными коэффициентами: причем из условия следует а из первого начального условия имеем С учетом найденных коэффициентов Bk, Ak, и w (x) ответ будет иметь вид Решите следующие смешанные задачи.
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 330; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.43.51 (0.022 с.) |