При неизвестных погрешностях измерений

Пусть в результате экспериментов получено шесть значений у при различных х. Экспериментальные точки нанесены на поле коорди­нат, причем погрешности для этих точек неизвестны (см. рис. 3.2).

Коэффициент k определяем методом парных точек. Пронумеруем точки и возьмем две из них (через две), например, 1 и 4, а затем проведем через них вспомогательную прямую. Эта прямая имеет коэффициент по (3.2):

.

Возьмем следующую пару точек (опять через две) - 2 и 5, снова

проведем прямую и определим ее угловой коэффициент. Проведя таким образом еще несколько вспомогательных прямых, получим набор значений угловых ко­эффициентов. Их среднее арифметическое даст угловой коэффици­ент "наилучшей" прямой. Точки для проведения вспомогательных пря­мых нужно выбирать так, чтобы разность координат х этих точек была для всех прямых одинаковой и несколько большей, чем половина исследованного интервала значений х.

Погрешность углового коэффициента определяется так же, как и погрешность среднего значения серии измерений, т.е. как среднее арифметическое всех k.

Чтобы не загромождать график, вспомогательные прямые проводить не следует. Можно использовать значения х и у для вы­бранных точек из таблицы измерений.

При нахождении исходим из того, что "наилучшая" прямая должна проходить через "центр тяжести" экспериментальных точек, т.е. через точку с координатами:

; (3.3)

, (3.4)

где: n - количество точек.

Вычислив координаты "центра тяжести" (см. рис. 3.2.), по уравнению прямой (3.1) находим:

. (3.5)

Через "центр тяжести" и точку проводим "наилучшую" прямую. Если пренебречь погрешностью измерений значений х, то погрешность определения :

. (3.6)

Здесь за можно принять максимальное отклонение точек от "наилучшей" прямой (у точки 5 на рис. 3.2).

Обобщая результаты обработки экспериментальных данных, необ­ходимо записать уравнение, описывающее исследованную зависимость в виде:

. (3.7)

ПРИМЕР 1

Пусть исследована взаимосвязь длины пружины х и приложен­ного к ней усилия F. Полученные данные занесены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

№ п/п	F, Н	х, см	№ п/п	F, Н	х, см
		0,010 0,020 0,030			0,040 0,050

1. Нанесем экспериментальные точки на поле графика (рис. 3.3).

2. Рассчитываем угловые коэффициенты по (3.2) для пар точек: 1 и 3, 2 и 4, 3 и 5 (координаты точек берем из таблицы):

(Н/м);

(Н/м);

(Н/м).

3. Средний угловой коэффициент:

(Н/м).

4. Абсолютная погрешность каждого из вычисленных угловых ко­эффициентов:

(Н/м);

(Н/м);

(Н/м).

5. Средняя абсолютная погрешность углового коэффициента:

(Н/м).

6. Координаты "центра тяжести" находим по (3.3) и (3.4):

Н;

м.

Наносим "центр тяжести" на график (см. рис. 3.3).

7. Вычисляем значение по (3.5):

Н.

8. Через "центр тяжести" и точку проводим "наилучшую" прямую.

9. Погрешность определяем по (3.6):

. (3.8)

где: - максимальное отклонение точек от "наилучшей" пря­мой.

В данном случае максимально отклонена точка 5, причем величина отклонения составляет 12 Н (см. рис. 3.3). Подставляем числовые даннные в (3.8):

(Н).

10. Окончательный результат, т.е. аналитическое выражение взаимосвязи силы F и длины пружины х:

;

Н.

3.2.2.Получение "наилучшей" прямой при известных

Погрешностях измерений

При известных погрешностях измерений величины этих погрешностей наносят на экспериментальные точки с помощью разносок. Для этого в обе стороны от каждой точки откладывают отрезки, равные величине абсолютной погрешности для данной точки (рис. 3.4). В этом случае графическая обработка результатов несколько упрощается.

Координаты "центра тяжести" определяют следующим образом. Проводят наиболее пологую прямую 1 так, чтобы она проходила внутри разносок. Аналогично проводят наиболее крутую прямую 2 . Точка пересечения этих прямых даст "центр тяжести".

Точку "наилучшей" прямой находят как среднее арифмети­ческое между и :

. (3.9)

Через "центр тяжести" и точку проводят "наилучшую " прямую 3, из наклона которой по (3.2) находят средний коэффициент
наклона .

Если за погрешности и принять максимальные, то:

; (3.10)

. (3.11)

ПРИМЕР 2

Обработаем экспериментальные данные Примера 1 при том ус-

ло­вии, что погрешностями намерения длины можно пренебречь, а погре­шности измерения силы пусть для всех точек составляют Н (рис. 3.5).

1. Наносим экспериментальные точки на поле графика, отмеряем и наносим с помощью разносок погрешности на каждую точку.

2. Проводим наиболее пологую прямую 1 и наиболее крутую прямые 2 внутри разносок. Пересечение этих прямых дает "центр тяжести" с координатами (см. рис. 3.5):

Н; см.

3. Точку вычисляем по (3.9):

(Н).

4. Через "центр тяжести" и проводим "наилучшую " прямую 3.

5. Погрешность вычисляем по (3.10):

(Н).

6. Погрешность коэффициента вычисляем по (3.11), для чего предварительно находим и , исходя ив координат точек , и "центра тяжести" по (3.2):

(Н/м);

(Н/м).

Подставляем найденные значения и в (3.11):

(Н/м²).

7. Окончательно взаимосвязь силы F с длиной пружины х выража­ется уравнением:

Н.

 

3.3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Линейная зависимость очень удобна при графическом анализе. Поэтому нелинейные зависимости при возможности преобразуют в ли­нейные с последующей проверкой соблюдения линейности.

Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 3

Пусть исследована зависимость потенциала от расстояния r до заряда Q. Эти величины связаны уравнением:

.

где: - диэлектрическая проницаемость вакуума; - относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Нетрудно заметить, что это выражение является уравнением прямой, в котором:

; ; ; .

Таким образом, на графике получится прямая, если построить зависимость от . Вычислив ив графика значение коэффи­циента наклона k, можно получить величину заряда Q:

.

ПРИМЕР 4

Пусть исследована зависимость сопротивления R проводника от температуры t. Эта зависимость описывается уравнением:

, (3.12)

где: - сопротивление при 0°С; - температурный коэффициент сопротивления.

Если не измерено, то его можно найти из прямой на графи­ке зависимости R от t, экстраполируя или интерполируя эту пря­мую к 0^оС.

Для нахождения перепишем (3.12):

.

Это тоже уравнение прямой, где:

; ; ; .

Если построить график зависимости от t, то коэффициент наклона k даст значение .

ПРИМЕР 5

Пусть исследована зависимость константы скорости реакции К от температуры Т. Уравнение этой зависимости:

,

где: А - константа, зависящая от природы реакции; - основание натурального логарифма; - энергия активации реакции; R – газовая постоянная.

Прологарифмируем это уравнение:

.

Это уравнение прямой, где:

; ; ;

Построив зависимость от и определив коэффициент наклона k, можно вычислить энергию активации (см. риc. 3.6):

.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Сквайрс Дж. Практическая физика / М.: Мир. - 1971.

2. Светозаров В.В. Основы обработки результатов измерений / М.: Изд. МИФИ. - 1980.

3. Воробьев Н.К. Практикум по физической химии / М.: Химия. - 1975.

4. Кортнев В.А, Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике / М.: Высшая школа. - 1963.

5. Агапов Б.Т., Максютин Г.В., Островерхов П.И. Лабораторный практикум по физике / М.: Высшая школа. - 1982.

6. Кучин В.Д., Приймачек В.Р. Введение в лабораторный практикум по физике / Киев: изд. УСХА. - 1979.

7. Соколовская Е.М., Зайцева О.С. Практикум по общей химии / М.: изд. МГУ. - 1981.

8. Копылов Ю.А. Учебно-методические указания к лабораторному прак­тикуму по физике / Днепропетровск: изд. ДСХИ. - 1979.

9. Трутнев Д.П. Физика. Методические указания и контрольные зада­ния для студентов-заочников / М.: Высшая школа. - 1983.

 

 

Приложение 1

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА PAБОТЫ

В УЧЕБНЫХ ЛАБОРАТОРИЯХ.

1. Пользоваться приборами и оборудованием разрешается только
в соответствии с инструкциями и указаниями.

2. Прежде чем приступать к работе с приборами, измерительными установками и оборудованием, необходимо убедиться в их исправности путем внешнего осмотра.

3. Работа с неизвестными веществами запрещается. Приступая
к работе с неизвестными веществами, необходимо предварительно
изучить их свойства по справочникам. Работа с летучими, огнеопасными, химически активными и ядовитыми веществами допускается только в исключительных случаях.

4. Студентам запрещается работа в лаборатории одному или при
отсутствии преподавателя.

5. При работе остерегайтесь вращающихся деталей, не имеющих
охранного ограждения.

6. При работе с нагревателями остерегайтесь ожогов при непо-
средственном касании деталей и ожогов паром.

7. При выполнении электрических измерений допускается включение в сеть или подключение к другому источнику тока только пол­ностью собранной и проверенной преподавателем измерительной установки. При включении все регулирующие приборы должны быть установлены нa минимальное напряжение.

8. Студентам запрещается включать в сеть приборы и измерительные cхемы без проверки и разрешения преподавателя.

9. Запрещается производить переключение проводов в электрической цепи, находящейся под напряжением.

10. Уходя из лаборатории, необходимо проверить, все ли элек­трические цепи отключены от источников тока, и после этого отключить общую сетевую линию и электрический свет.

11. Запрещается оставлять в лаборатории открытые окна и фор-
точки, не закрепленные крючками.

12. Запрещается пользование открытыми яркими источниками све-
та. Допускается работа с ультрафиолетовыми источниками только в очках.

Приложение 2

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ

Приложение 3