Тема 6. Дискретная Случайная величина

Справочный материал

 

· Случайная величина – действительная переменная X, которая принимает свои возможные значения x в зависимости от исходов испытания.

 

· Дискретная случайная величина – случайная величина, возможные значения которой образуют конечное или счетное множество действительных чисел, то есть, множество, элементы которого можно пронумеровать.

 

 

· Индикатор события – случайная величина, принимающая значение 1, если это событие произошло, и значение 0, если это событие не произошло.

 

· Закон распределения дискретной случайной величины – функция p (x_j), устанавливающая соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями; вероятность p (x_j) = p_j = p (X = x_j)= p {случайная величина X в результате испытания примет значение x_j }; для конечного множества n возможных значений случайной величины:

;

для счетного множества возможных значений случайной величины ряд p (x ₁) + p (x ₂) + … сходится, и его сумма равна 1.

 

· Ряд распределения вероятностей – табличная форма закона распределения дискретной случайной величины:

 

X	x 1	x 2	…	xj	…
p (x)	p 1	p 2	…	pj	…

 

· Многоугольник распределения – графическая форма закона распределения дискретной случайной величины в плоскости Охр в виде многоугольника, получаемого при соединении ломаной точек значений вероятностей p (x_j) и замыкании крайних точек перпендикулярами на числовую ось значений случайной величины х.

 

· Функция распределения случайной величины X – функция F (x), определяющая вероятность события {в результате испытания случайная величина X примет значение меньше числа x }: . Для дискретной величины F (x) – ступенчатая неубывающая функция: F (– ¥) = 0, F (+ ¥) = 1.

 

· Математическое ожидание М (X) случайной величины Х – числовая характеристика закона распределения случайной величины Х, определяющая среднее вероятностное (среднее ожидаемое) значение этой величины; для дискретной случайной величины М (Х) = .

· Дисперсия D (X) случайной величины Х – числовая характеристика закона распределения случайной величины Х, определяющая характерный разброс квадрата отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = М (Х – М (Х))²; для дискретной случайной величины D (X) = = М (Х ²)– М ²(Х).

 

· Среднее квадратическое отклонение σ (х) случайной величины (СКО) Х – числовая характеристика закона распределения случайной величины определяющая характерный линейный разброс отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания: σ (х) = .

 

· Закон равновероятного распределения дискретной случайной величины X: закон равновероятного распределения дискретной случайной величины Х задается формулой р (X = x_j)= 1 ∕ n, где n – число возможных различных значений, которые может принимать случайная величина Х, j = :

p

1/ n

 

 

0 x ₁ x ₂ x_{n – 1} x_n x

 

Математическое ожидание М (Х) = (x ₁ + x ₂ +…+ x_{n – 1} + x_n) ∕ n, то есть, равно среднему арифметическому возможных значений Х.

В случае, когда Х принимает значения из натурального ряда чисел от 1 до n:

М (Х) = (n +1) ∕ 2; σ (Х) = ; D (X) = .

· Закон распределения индикатора события X: закон распределения индикатора события Х задается формулой р (Х = х) = ; М (Х) = р; σ (Х) = ; D (X) = pq.

· Закон биномиального распределения дискретной случайной величины X: закон биномиального распределения дискретной случайной величины Х задается формулой Бернулли р (X = m) = ∙ p^m ∙ q^{n – m}, где 0 ≤ р ≤ 1; q = 1 – р; m – целое неотрицательное число из возможных значений: 0, 1, …, n; М (Х) = nр; σ (Х) = ; D (X) = npq.

· Закон пуассоновского распределения дискретной случайной величины X: закон пуассоновского распределения дискретной случайной величины Х задается формулой Пуассона (формулой редких событий) р (X = m) = ; где параметр а >0, m – целое неотрицательное число: 0, 1, 2, …; М (Х) = а; σ (Х) = ; D (X) = а.

Задачи

6.1. Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и В, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент по этим дисциплинам, и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

6.2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

 

хj
pj	р 1	0,15	р 3	0,25	0,35

 

Найти: а) р ₁ и р ₃, если известно, что р ₃ в 4 раза больше р ₁; б) М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x) и многоугольник распределения.

 

6.3. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина Х – число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины Х. Найти М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x) и многоугольник распределения.

 

6.4. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки наудачу извлекают 3 карандаша. Найти: а) закон распределения случайной величины Х, равной числу красных карандашей в выборке; б) М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x) и многоугольник распределения.

 

6.5. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов. Найти М (Х), D (X), F (x). Построить график F (x).

 

6.6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5-ти выданных. Найти М (Х), D (X), σ (Х).

 

6.7. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых – правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

6.8. В билете 3 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9; второй – 0,8; третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

 

6.9. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок делает по одному выстрелу. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

 

6.10. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном испытании.

 

6.11. В партии деталей 10% – нестандартных. Наудачу отобраны четыре детали. Составить таблицу биномиального закона распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

 

6.12. На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо приостанавливает проезд. Составить закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Построить многоугольник распределения этой случайной величины.