Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция № 21. Дифференциальные уравнения
Вопрос 21.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Определение 21.1. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Теорема 21.1. Если и существуют первообразные для функций и , то есть решение уравнения тогда и только тогда, когда удовлетворяет соотношению . Доказательство. Пусть есть решение уравнения . Тогда . Интегрируя последнее соотношение, получим . Пусть теперь удовлетворяет равенству . Так как , то, дифференцируя его по x, получим . Конец доказательства. Замечание 21.1. . Это уравнение есть не что иное, как общий интеграл . Замечание 21.2. Если при , то есть решение , оно может не удовлетворять общему интегралу и его необходимо учитывать отдельно. Рассмотрим теперь уравнение вида . Покажем, что с помощью замены это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными: . ‑ уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим . Пример 21.1. Решить задачу Коши . Разделяя переменные, получим При значении получаем ‑ решение уравнения, то есть общее решение уравнения есть . Из начального условия получим . Конец примера. Пример 21.2. Найти общее решение уравнения . Выполним замену переменных , тогда получим или . Разделяя переменные, получим . Отсюда получаем или . Конец примера. Вопрос 21.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Определение 21.2. Дифференциальное уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением. Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно , тогда или , то есть переменные разделились. Пример 21.3. Решить уравнение . Подстановкой получим или . Разделяя переменные, найдем . Конец примера. Рассмотрим теперь уравнения вида . Покажем, что подстановкой уравнение сводится к однородному уравнению. Считаем, что , тогда . Теперь получаем . Выберем n и m так, чтобы Эта система уравнений всегда имеет единственное решение, если главный определитель отличен от нуля . Пусть n и m удовлетворяют этой системе, тогда получим , однородное дифференциальное уравнение. Пример 21.3. Решить уравнение .
, тогда положим , причем n и m удовлетворяют системе уравнений , тогда и . Выполнив замену и подставив в уравнение, получим или . Разделяя переменные, найдем . Пусть , тогда получим . Интегрируя почленно, получим . Подставляя , получим , где . ЛЕКЦИЯ № 22. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 204; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.79.46 (0.008 с.) |