Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях)

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) , , и . Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2 (цифры условные).

Таблица 2

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
I	II

 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 руб. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных, веществ было бы не менее установленного предела.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим и — количество кормов I и II, входящих в дневной рацион. Тогда этот рацион (см. табл. 2) будет включать () единиц питательного вещества , () единиц вещества и () единиц питательного вещества . Так как содержание питательных веществ , , и в рационе должно быть не менее соответственно 9, 8 и 12 единиц, то получим систему неравенств:

(7)

Кроме того, переменные

, (8)

Общая стоимость рациона составит (в руб.)

(9)

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе (7) и условию (8), при котором функция (9) принимает минимальное значение.

Для формулировки задачи в общей постановке обозначим:

() — число единиц корма п-го вида; (), — необходимый минимум содержания в рационе питательного вещества ; — число единиц питательного вещества , в единице корма j-го вида; , — стоимость единицы корма j-го вида. Тогда экономико-математическая модель задачи примет вид:

найти такой рацион , удовлетворяющий системе

(10)

и условию

, , (11)

при котором функция

(12)

принимает максимальное значение.

3. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования)

Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить единиц продукции . Продукция производится на станках . Для каждого станка известны производительность (т.е. число единиц продукции , которое можно произвести на станке ) и затраты на изготовление продукции на станке в единицу времени.

Необходимо составить такой план работы станков (т.е. так распределить выпуск продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальными.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим — время, в течение которого станок будет занят изготовлением продукции (; ).

Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то справедливы неравенства:

(13)

Для выполнения плана выпуска по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства:

(14)

Кроме того,

(; ). (15)

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией

(16)

Экономико-математическая модель задачи об использовании мощностей примет вид: найти такое решение удовлетворяющее системам (13) и (14) и условию (15), при котором функция (16) принимает минимальное значение.

Задача о раскрое материалов

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве, а единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональных числам (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена п различными способами, причем использование i - го способа () дает единиц k-го изделия ().

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим — число единиц материала, раскраиваемых i -м способом, и х — число изготавливаемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то

(17)

Требование комплектности выразится уравнениями

(18)

Очевидно, что

(19)

Экономико-математическая модель задачи: найти такое решение , удовлетворяющее системе уравнений (17) — (18) и условию (19), при котором функция принимает максимальное значение.

Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Составить экономико-математическую модель задачи.

Решение. Прежде всего, определим всевозможные способы распила бревен, указав соответствующее число получаемых при этом брусьев (табл. 3).

Таблица 3

Способ распила i	Число получаемых брусьев длиной, м
1,2	3,0	5,0
		—	—
			—
	—		—
	—	—

Обозначим: — число бревен, распиленных i-м способом ; х — число комплектов брусьев.

Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, экономико-математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Задачу о раскрое легко обобщить на случай т раскраиваемых материалов.

Пусть каждая единица j-го материала ( ) может быть раскроена п различными способами, причем использование i-го способа ( ) дает единиц k-го изделия ( ), а запас j-го материала равен единиц.

Обозначим — число единиц j-го материала, раскрываемого i-м способом.

Экономико-математическая модель задачи о раскрое в общей постановке примет вид: найти такое решение , удовлетворяющее системе

и условию , при котором функция принимает максимальное значение.