Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Самостійна робота «Похідна елементарних функцій. Застосування похідної до наближених обчислень.»
1. Знайти:
2.Знайти:
Завдання для самостійної роботи А 1. Знайдіть похідні функцій:
б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; 2. Для функції знайти: а) ; б) ; в) ; г) . 3. Обчислити значення похідної функції в точці x0, якщо: а) ; б) ; в) ; г) Б 1. Знайдіть похідні функцій: а) ; д) ; б) ; е) . в) ; г) ; 2. Розв’язати рівняння , якщо: а) ; б) . 3. Знайти область визначення похідної функції: а) ; б) .
4. Розв’язати рівняння , якщо .
В 1. Знайти точку графіка функції , у якій не можна побудувати до нього дотичну. 2. Знайти похідну функції: а) в) г) б) д) 3. Розв’язати нерівність , якщо: а) ; б) .
ТЕМА: Зростання, спадання та екстремуми функцій. ПЛАН: 1. Ознаки зростання і спадання функції. Екстремум функції. 2. Застосування похідної до побудови графіків та їх досліджень. 3. Найбільше та найменше значення функції на проміжку. Ознаки зростання і спадання функції. Екстремум функції За допомогою похідної можна встановити проміжки зростання і спадання функції. ОЗНАКА 1. Якщо f ' (x) > 0 на проміжку, то функція f (x) зростає на цьому проміжку. ОЗНАКА 2. Якщо f ' (x) < 0 на проміжку, то функція f (x) спадає на цьому проміжку. Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції. __________________________________________________________________________________
СХЕМА №1 Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом: 1.Знайти область визначення заданої функції y = f (x). 2.Знайти похідну f ' (x). 3.Розв`язати нерівності (методом інтервалів): а) f ' (x) > 0, вказати проміжки зростання функції y = f (x); б) f ' (x) < 0, вказати проміжки спадання функції y = f (x). _________________________________________________________________________________
ОЗНАЧЕННЯ 1. Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю, або не існує називаються критичними (стаціонарними). Ці точки розбивають область визначення функції на проміжки, в яких похідна зберігає сталий знак. (Теорема Дарбу). Розглянемо функцію y = f (x), яка визначена в деякому околі точки x0 і має похідну в цій точці.
ТЕОРЕМА ФЕРМА: Якщо x0 – точка екстремуму диференційованої функції y = f (x), то f ' (x0) = 0. П`єр Ферма – французький математик (1601-1665) Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: в точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f ' (x0) дорівнює нулю. Усі точки екстремуму є стаціонарними (обернене твердження невірне). Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна точка є точкою екстремуму (максимуму або мінімуму функції). ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x0, а f ' (x) > 0 на
інтервалі (а; x0) і f ' (x) < 0 на інтервалі (x0; в), то x0 – точка максимуму. ТЕОРЕМА. 1) Якщо функція f неперервна в точці x0, а f ' (x) < 0 на інтервалі (а; x0) і f ' (x) > 0 на інтервалі (x0; в), то x0 – точка мінімуму. Або: якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „+” на „ -”, то ця стаціонарна точка є точкою максимуму; якщо похідна при переході через стаціонарну точку змінює свій знак з „ -” на „+”, то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму. СХЕМА № 2 Дослідження функції на екстремум.
2. Знайти похідну f ' (x). 3. Знайти критичні точки. 4. Відмітити критичні точки на координатній прямій, визначити знак похідної і дослідити характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на якій робимо область визначення. 5. Визначити відносно кожної критичної точки, чи є вона точкою максимуму, мінімуму або не є точкою екстремуму взагалі.
Приклад 1. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х3 - 3х2. Розв'язання 1. Область визначення функції: D(y) = R. 2. Знаходимо похідну у' = 3х2 -6х. 3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці нерівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі похідної: 3 х2 - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і визначаємо знаки похідної на кожному проміжку: y'(-1) = 3 · (-1)2 - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0; y'(1) = 3 · І2 – 6 - 1 = -3 < 0; у'(3) = 3 · 32 – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0. а) у' > 0 в кожному із проміжків (- ; 0); (2; + ), отже, функція на цих проміжках зростає. б) у' < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає. Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (- ;0); (2;+ ); спадає на проміжку (0; 2). Приклад 2. Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х3 – 3х. Розв'язання 1. Область визначення даної функції — R. 2. Знайдемо f`(x): f`(x) = (x3 - 3x)' =3х2- 3. Похідна існує для всіх x є R. 3. Знайдемо стаціонарні (критичні) точки: f(x) = 0, 3 х2 - 3 = 0, х2 — 1 = 0, x = ±1. 4. Наносимо область визначення та стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 48 ) і визначимо знак похідної на кожному проміжку: f`(-2) = 3 · (-2)2 - 3 = 9 > 0; f`(0) = 3 · (0)2 - 3 = -3 < 0; f`(2) = 3 · (2)2 - 3 = 9 > 0. 5. Точка х = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1. Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin = 1. Відповідь: хmax= -1, хmin= 1. Приклад 3. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 - 4х3. Розв'язання
f`(x)= (x4 – 4х3) = 4 x 3 – 12 х2 = 4 x 2(х – 3).
4. Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 49) та визначаємо знак похідної на кожному інтервалі. 5. x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: хmin = 3. Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку. Отже, уmin = f (3) = 34 – 4 · 33 = – 27. Відповідь: уmin = f (3) = – 27.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-05; просмотров: 995; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.206.48 (0.09 с.) |