Линейная система в пространстве состояний

Метод пространства состояний был разработан в 60-70 годах XX в. американскими и советскими учеными. Сущность метода может быть резюмирована в следующих положениях:

- не используется преобразование Лапласа, анализ и синтез осуществляется непосредственно с использованием математического аппарата линейных дифференциальных уравнений;

- объект управления представляется в виде

где u – управляющее воздействие, x – вектор пространства состояний,
y – выход объекта управления (все переменные x, y, u могут быть векторными; матрицы A, B, C, D – постоянные матрицы соответствующих размерностей);

- постулируется, что для линейного объекта в пространстве состояний линейная пропорциональная обратная связь стабилизирует его динамику, т. е. асимптотически обращает в ноль производные вектора состояния, ; другими словами, стабилизирующая обратная связь ищется в виде ,
где – матрица постоянных коэффициентов;

- для решения задач синтеза и анализа систем используются численные и оптимизационные алгоритмы, реализованные программно, в т. ч. и в системе MATLAB.

Пример. Описание «грузика на пружинке в пространстве состояний

Рис. 2.9. Модель «грузика на пружинке»

Уравнение движения грузика на пружинке имеет вид

Выбор переменных состояния не является однозначным, они могут быть определены по-разному, например, в нормальной, канонической или в других формах.

В общем случае описание линейной САУ дается в форме динейного дифференциального уравнения n -го порядка, связывающего выход y с сигналом управления u и возмущением f. Это уравнение всегда можно представить в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка:

где введены n независимых переменных х ₁, х ₂, …, х_n, называемых переменными состояния.

Эти уравнения, как и уравнение n -го порядка, полностью характеризуют состояния объекта в любой момент времени (и являются уравнениями состояния). Управляемая величина у однозначно определяется через выбранные переменные состояния х ₁, х ₂, …, х_n выражением вида

y = с ₁ x ₁ + с ₂ x ₂ + … + с_nx_n.

Обычно уравнения состояния записывают в векторно-матричной форме

где A – матрица размером n ´ n, b, m, c – матрицы-столбцы.

Матрицу-столбец х называют вектором состояния, хотя в общем случае х не является вектором, так как его компоненты x ₁, x ₂, …, x_n могут иметь разный физический смысл (и неодинаковые размерности).

В выборе переменных состояния имеется определенная свобода. Важно только, чтобы они были независимыми. От того, как выбраны переменные, зависит форма уравнений состояния, т. е. вид входящих в них матриц.

При нормальной форме уравнений состояния в качестве переменных состояния выбираются сама управляемая величина y и
n –1 ее производных:

Эту форму можно использовать лишь при отсутствии в правой части дифференциального уравнения производных от u и f, т. е. когда оно имеет вид

В этом случае

При нормальной форме записи y = x ₁. Поэтому с ^Т = [1 0 … 0].

Достоинством нормальной формы является то, что переменные состояния имеют ясный физический смысл, а некоторые из них (например, х ₁, х ₂ и х ₃) могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.

Для получения уравнений состояния в канонической форме уравнение объекта представляется в виде

Если корни p ₁, p ₂, …, p_n полинома Q (p) действительные некратные, то правая часть этого уравнения может быть представлена в виде суммы элементарных дробей:

где α _i и β _i – коэффициенты разложения.

В качестве переменных состояния выбирают слагаемые этой суммы:

Отсюда (p – p_i) x_i = α _iu + β _if, i = 1, 2, …, n или

При этом

y = x ₁ + x ₂ + … + x_n.

Матрицы в уравнениях состояния принимают вид

Большое достоинство канонической формы – диагональность матрицы А, что существенно упрощает исследование. Основной недостаток состоит в том, что переменные состояния не имеют ясного физического смысла и не могут быть непосредственно измерены. Кроме нормальной и канонической формы существуют и другие способы выбора переменных состояния.

2.2 Элементарные звенья

Как уже говорилось выше, для представления отдельных элементов (звеньев) в ТАУ используется стандартная форма (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Стандартная форма представления звена

x (t), y (t) – входной и выходной сигналы, G (p) – передаточная функция.

Существует некоторый набор простых, стандартных моделей, с помощью которого можно описать свойства различных сложных систем. Компоненты этого набора называются элементарными звеньями.

2.2.1 Безынерционное звено
(статическое звено, идеальный усилитель)

Основные характеристики звена:

· передаточная функция G (p) = k, k – коэффициент усиления звена;

· уравнение звена y (t) = G (D) x (t) Þ y (t) = kx (t);

· переходная функция (реакция на единичный скачок) x (t) = 1[ t ] Þ h (t) = k× 1[ t ] (рис. 2.12, а);

· весовая функция (реакция на импульсное воздействие) x (t) = d(t) Þ g (t) = k× d(t) (рис. 2.12, б);

· амплитудно-частотная характеристика A (w) = k;

· логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
L (w) = 20∙lg k (рис. 2.12, в);

· логарифмическая фазо-частотная характеристика j(w) = 0.

а б в

Рис. 2.12. Характеристики безынерционного звена:
а – переходная функция, б – весовая функция,
в – логарифмические частотные характеристики

Итак, для статического звена характерно то, что ПФ является константой, связь между входом и выходом – пропорциональная зависимость. Звено характеризуется единственным параметром – коэффициентом усиления k.

Примеры.

а) редуктор

j₁(t) j₂(t) M ₁(t) M ₂(t)

1/ i i

Модели разные в зависимости от того, что исследуется (и, соответственно, выступает в роли входа и выхода). Исследуем кинематику: j₂(t) = 1/ i ×j₁(t) (k = 1/ i), силовые характеристики:
M ₂(t) = i × M ₁(t) (k = i). Но в обоих случаях модель статическая.

б) электрический усилитель

u ₁(t) u ₂(t)

k u ₂(t) = k u ₁(t); G (p) = k.

в) делитель напряжения

R ₁

u _вх R ₂ u _вых

Замечание. Элементарные звенья – это простейшие звенья, идеализированные модели реальных элементов. Их область применимости ограничена по полосе частот и амплитуде входного воздействия. Поясним сказанное на примере электрической цепочки.

Если u _вх невелико, то справедлив закон Ома для участка цепи, т. е. линейная зависимость выходного сигнала (тока i через резистор) от входного (напряжения u _вх): i = u _вх/ R. При больших значениях u _вх резистор сгорит и линейная зависимость нарушится. Следовательно, указанная зависимость (и соответствующая модель) справедлива лишь в некотором диапазоне входных воздействий. С другой стороны, при работе в области высоких частот (МГц) на процессы начнут влиять паразитные параметры (индуктивное сопротивление резистора). И в этом случае модель идеального усилителя непригодна для описания работы электрической цепочки. Аналогичная картина имеет место для усилителей напряжения (вид АЧХ на аппаратуре). В механике – при высоких скоростях происходит деформация зубьев, не проходит на выход высокочастотная составляющая.

2.2.2 Идеальный интегратор

Основные характеристики:

· передаточная функция G (p) = k/p; k – коэффициент усиления звена;

· уравнение звена y (t) = G (D) x (t) Þ Dy (t) = kx (t) (выходной сигнал является интегралом от входа), y ’ = kx (t), y = k∙ ò x (t) dt;

· переходная функция h (t) = kt (рис. 2.13, а);

· весовая функция g (t) = k (рис. 2.13, б);

· АЧХ A(w) = k/w;

· ЛАЧХ L (w) = 20 lg k – 20 lg w (рис. 2.13, в); ФЧХ j(w) = – p/2.

а б в

Рис. 2.13. Характеристики идеального интегратора: а – переходная функция, б – весовая функция, в – логарифмические частотные характеристики

Описание идеального интегратора в пространстве состояний:

Пример. Гидродвигатель (рис. 2.14)

В гидроприводах в качестве энергоносителя выступает сжатая гидравлическая жидкость, потенциальная энергия которой преобразуется в механическую работу путем воздействия на рабочий орган гидродвигателя. По сравнению с электроприводом гидропривод имеет следующие преимущества:

- возможность создания больших усилий при малых собственных габаритах;

- возможность создания «прямого», без механизмов преобразования, привода линейных перемещений;

- гидродвигатели, в отличие от электродвигателей, не выходят из строя при перегрузке, они просто останавливаются;

- гидродвигатели легко регулируются по усилию и скорости; обеспечивают плавное движение;

- гидродвигатели надежно работают в условиях повышенной влажности и загрязненности окружающей среды, не требуют дополнительного охлаждения;

- в гидроприводе не используются высокие, опасные для человека, напряжения электрического тока.

Рис. 2.14. К математической модели гидродвигателя

Силовой гидропривод предназначен для усиления мощности сигналов. Вход – перемещение x золотника, выход – перемещение y силового цилиндра. Модель включает следующие соотношения:

· выражение для объемного расхода жидкости Q = S (x)m v, где S (x) – площадь открытого окна золотника; v – скорость движения жидкости; m – коэффициент, учитывающий потери.

· выражение для скоростного напора D p = r v ²/2, где D p – перепад давлений; r – плотность жидкости.

· условие неразрывности потока (“сколько втекает, столько вытекает”): Q ₁ = Q ₂ = Fy ’, где F – площадь поршня силового цилиндра.

· уравнение движения поршня my ’’= (P ₁ – P ₂) F, где m – масса поршня. Не учитывая инерционных свойств, имеем (при m = 0):
P ₁ = P ₂.

Будем считать, что при x = 0 окно золотника полностью закрыто. Тогда S (x) @ b D x, где b – ширина окна, D x – смещение золотника относительно указанного положения отсчета. В результате

.

Итак, скорость движения поршня рабочего цилиндра пропорциональна перемещению золотника.

Другие примеры интегрирующих звеньев – электродвигатель, резервуар, заполняемый водой.

2.2.3 Идеальное дифференцирующее звено

Основные характеристики:

· передаточная функция G (p) = k×p; k – коэффициент усиления звена;

· уравнение звена y (t) = G (D) x (t) Þ y (t) = k×dx (t)/ dt – (выход пропорционален скорости изменения входа);

· переходная функция h (t) = k ×d[ t ];

· весовая функция g (t) = k ×d'(t). L +20 дБ/дек

· амплитудно-частотная A (w) = kw

· ЛАЧХ L (w) = 20 lgk w; j w

· ФЧХ j(w) = π/2. π/2 w

Пример. Тахогенератор - электрическая машина, вал которой соединяют непосредственно или через редуктор с валом нагрузки, когда хотят определить скорость его вращения. На клеммах ТГ возникает напряжение пропорциональное скорости вращения вала:
u _тг = k _тг × d j/ dt.

2.2.4 Инерционное (апериодическое) звено

Характеристики апериодического звена:

· передаточная функция G (p) = 1/(Tp +1), T – постоянная времени;

· уравнение звена y (t) = G (D) x (t) Þ

· переходная функция h (t) = 1 – e ^-t/T (рис. 2.15, а);

· весовая функция g (t) = 1/ T ×e ^-t/T (рис. 2.15, б);

· амплитудно-частотная A (w) =

· ЛЧХ L (w) = –10 lg (1+ T ²w²) (рис. 2.15, в);

· асимптотическая ЛАЧХ

·

L

ФЧХ j(w) = – arctg (T w).

g

j

w

w

t

t

а

б

h

в

Рис. 2.15. Характеристики апериодического звена:
а – переходная функция, б – весовая функция ,
в – логарифмические частотные характеристики

Пример. Гидроусилитель (рис. 2.16)

Рис. 2.16. К математической модели гидроусилителя

Математическая модель:

Пример. Электропривод с нагрузкой

2.2.5 Колебательное звено

Характеристики колебательного звена:

· передаточная функция G (p) = 1/(T ² p ²+2 T x p +1), T – постоянная времени,
ξ – относительное демпфирование, 0 < ξ < 1;

· уравнение звена y (t) = G (D) x (t) Þ

· переходная функция (рис. 2.17, а);

· весовая функция g (t) = (рис. 2.17, б);

· амплитудно-частотная A (w) =

ЛАЧХ L (w) = (рис. 2.17, в);

· асимптотическая ЛАЧХ

· ФЧХ j(w) = – arctg [2 Tx w/(1– T ²w²)].

б

g

h

w

w

t

t

j

L

a

1/ T

1/ T

в

Рис. 2.17. Характеристики колебательного звена: а – переходная функция,
б – весовая функция, в – логарифмические частотные характеристики

Примеры (груз на пружине, колебательный контур).

2.2.6 Другие элементарные звенья

– Консервативное звено G (p) = 1/(T ² p ²+1);

– Дифференцирующее (форсирующее) звено 1-го порядка
G (p) = Tp +1;

– Дифференцирующее звено 2 - го порядка G (p) = T ² p ²+2 T x p +1.

Отметим, что логарифмические частотные характеристики дифференцирующих звеньев 1-го и 2-го порядков получаются зеркальным отображением относительно оси абсцисс соответствующих им инверсных звеньев: апериодического и колебательного (рис. 2.18, а).

w w j L

w w j L

а б

Рис. 2.18. Логарифмические частотные характеристики дифференцирующего (форсирующего) звена:
а – 1-го порядка, б – 2-го порядка

Реальные элементы (системы) представляют собой соединение элементарных звеньев. В частности, двигатель–редуктор (усилитель, идеальный интегратор, апериодическое звено).

Другие примеры: апериодическое звено 2-го порядка G (p) = k /(T ₁ p +1)(T ₂ p +1), интегрирующее звено с замедлением G (p) = k/p (Tp +1), изодромное звено G (p) = k (Tp +1)/ p, дифференцирующее звено с замедлением G (p) = kp /(Tp +1).

2.2.7 Неустойчивые (неминимально-фазовые) звенья

Рассмотренные звенья позиционного типа (безынерционное, апериодическое, колебательное) относятся к устойчивым звеньям, или к звеньям с самовыравниванием. Выход таких звеньев приходит к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входа (или возмущающего воздействия).

Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины или возмущающего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К таким звеньям относятся, например, звенья интегрирующего типа (линейный рост выходного сигнала во времени).

У некоторых звеньев этот процесс выражен еще заметнее, чем у интегрирующего ¾ выходной сигнал возрастает во времени по экспоненте. Такие звенья имеют в характеристическом уравнении положительные вещественные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью. Они относятся к категории неустойчивых или неминимально-фазовых звеньев. У неминимально-фазовых звеньев имеются отрицательные коэффициенты в знаменателе передаточной функции.

Рассмотрим в качестве примера подобного звена неустойчивое апериодическое звено, описываемое дифференциальным уравнением Tdy/dt – y = kx. Ему соответствует передаточная функция
G (p) = k / (Tp – 1). Пример – двигатель любого типа, если его механическая характеристика, т. е. зависимость вращающего момента от скорости вращения М = f (w), имеет положительный наклон. Переходная функция такого звена представляет собой показательную функцию с положительным показателем степени: h (t) = k (e^t/T –1)×1[ t ], т. е. реакцией на елиничный скачок входного сигнала является экспоненциальное нарастание во времени выходного сигнала.

Частотные характеристики неминимально-фазовых звеньев

Амплитудные характеристики неминимально-фазовых звеньев совпадают с амплитудными характеристиками соответствующих устойчивых звеньев, а фазовые характеристики отличаются (меньше по величине) фазовых характеристик соответствующих минимально-фазовых. Сравним для примера логарифмические частотные характеристики апериодического звена (рис. 2.19, а) и его неминимально-фазового аналога (рис. 2.19, б).

а б

Рис. 2.19. Логарифмические частотные характеристики устойчивого (а) и неустойчивого (б) апериодического звена

Для звена с ПФ G (p) = 1/(Tp + 1)

A (w) = 1/Ö1+ T ²w², L (w) = 20 lg (1/Ö1+ T ²w²), j(w) = – arctg (w T).

Для звена с ПФ G (p) = 1/(Tp - 1)

A (w) = 1/Ö1+ T ²w², L (w) = 20 lg (1/Ö1+ T ²w²), j(w) = –p + arctg (w T).

Тест (на 10 мин)

1. На вход интегрирующего звена подается сигнал x (t) = t +1. Каким будет сигнал на выходе звена?

2. На вход звена с передаточной функцией G (p) = p +1 подан сигнал x (t) = t. Нарисуйте график изменения выхода y (t).

3. Опишите в пространстве состояний звено с передаточной функцией G_y/u (p) = k /(Tp +1).

4. По дифференциальному уравнению звена определите передаточную функцию G_y/х (p).

5. Определите амплитудно-частотную характеристику звена, заданного дифференциальным уравнением .