Применение правила циклов к графу связей

 

Правило циклов [24] позволяет для направленного графа или струк-турной схемы записать передаточную функцию между любыми ее входами и выходами. В соответствии с этим правилом передаточная функция графа определяется как

, (2.34)

где – определитель графа; – передаточная функция -го пути между заданными входом и выходом; – определитель сокращенного графа, образующегося в результате исключения пути с передаточной функцией и вершин, через которые этот путь проходит, из исходного графа.

Определитель графа может быть записан следующим образом:

 

, (2.35)

где – -е произведение передаточных функций циклов для циклов графа, взятых из множества независимых циклов. Сумма берется по всевозможным таким комбинациям.

Поясним некоторые из используемых терминов. Циклом называется замкнутый контур в графе или структурной схеме. Передаточная функция цикла определяется как произведение передаточных функций всех звеньев, входящих в цикл.

Независимыми называются циклы, не касающиеся друг друга, то есть не имеющие в структурной схеме общих точек.

В формуле (2.35) – функция -го контура, – произведение передаточных функций двух не касающихся друг друга контуров, – произведение передаточных функций трех взаимно не касающихся контуров и т.д.

Например, в структур­ной схеме двигателя постоянного тока, приведенной на рис. 2.27, есть два цикла и с передаточными функциями

Циклы касаются друг друга, так как имеют общий участок, вклю-чающий сумматор и звено с передаточной функцией , поэтому определитель

.

 

Рис. 2.27. Применение правила циклов к структурной схеме

 

Прямой путь от входного воздействия к выходной величине проходит через элементы с передаточными функциями . Соответственно, передаточная функция этого пути равна

.

Этот путь касается обоих циклов, поэтому сокращенный граф циклов не имеет. Тогда , а передаточная функция двигателя определится как

.

Путь от возмущающего момента нагрузки определяется выражением

.

Этот путь не касается цикла , поэтому определитель сокращен-ного графа

,

а передаточная функция двигателя по возмущению

.

Вся информация, необходимая для расчета передаточной функ-ции, есть, очевидно, и в графе связей, так как из него можно получить структурную схему, к тому же в различных вариантах. Рис. 2.28,а иллюстрирует поиск пути и циклов и в графе связей рассмот-ренной выше модели двигателя.

Путь в ГС проходит вдоль связей, не меняющих направления причин­ности в узлах графа. Изменение причинности (то есть изменение усилия на поток и обратно) может происходить только в односвязных элементах () и в гираторе.

 

Рис. 2.28. Пути и циклы в графе связей

 

Циклы в ГС, как это показано на рис. 1.28,с, образуются цепочками связей, сохраняющими направление причинности и заканчивающимися на обоих концах односвязными элементами . Отметим, что источники энергии в циклы входить не могут. Как это показано на рис. 2.29, цикл может включать последовательность 0-узлов и 1-узлов (рис. 2.29,а), трансформаторы (рис. 2.29,b) и гираторы (рис. 2.29,с). Передаточные функции циклов на рис. 2.29,a,b,c имеют вид, соответственно:

Коэффициенты передачи трансфор­маторов и гираторов входят в пере­даточную функцию цикла в квадрате, поскольку цикл проходит через них дважды: один раз в прямом направ­лении, другой раз – в обратном.

Циклы, образуемые цепочками связей, называются плоскими циклами.

Рис. 2.29. Примеры плоских циклов

Рассмотрим решение задачи расчета передаточной функции механизма с редуктором, граф которого приведен на рис. 2.30.

 

Рис. 2.30 Циклы в графе связей

 

Передаточная функция единственного прямого пути , проходя-щего последовательно через инерционность , трансформатор , емкость и инерционность определяется произведением переда-точных коэффициен­тов перечисленных элементов

Граф содержит 5 циклов, отмеченных штриховыми линиями в графе. Передаточные функции циклов

Для того, чтобы найти все пары, тройки и т.д. не касающихся циклов, удобно построить вспомогательный граф (рис. 2.30,b), в котором каждая вершина соответствует одному из циклов, а дуга между вершинами проводится, если циклы не касаются.

Каждая дуга в этом графе соответствует паре не касающихся циклов. Таких пар пять: .

Вспомогательный граф наглядно показывает также тройку незави-симых циклов , которая образует в треугольник. Четверок независимых циклов, которые образовали бы четырехугольник, здесь нет. Таким образом, определитель графа связей можно записать как

Путь не касается только цикла , поэтому а пе-редаточная функция системы имеет вид

.

 

После необходимых подстановок получим

 

При использовании правила циклов необходимо учитывать, что знак передаточной функции цикла в ГС всегда отрицательный. Это следует из того, что полустрелки на концах цепочки связей в цикле, как это видно из рис. 1.29, всегда направлены в противоположные стороны. Для определения знака передаточной функции пути тоже не обязательно просматривать все изменения знака в цепочке связей, достаточно сравнить направления полустрелок в начале и конце пути.