Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Логические формулы. Решение логических задач. ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
Применяя введенные логические операции можно из простых высказываний составить высказывания сколь угодно сложного вида. Например, A ®ВÚС; (A « Ú ) ® Ù ; B ® Ú (С Ù B) «(A Ú B) Ù ® С и т.д. Такие высказывания называются логическими формулами, а входящие в них простые высказывания – логическими переменными. Символы Ø, Ù, Ú, ®, «называют логическими связками. Принимая А, В, С за обозначение простых высказываний, логическая формула будет представляться как определенное сложное высказывание. Например, если обозначить А – «Будет дождь», В – «Я возьму зонт», С – «Я надену плащ», то A®ВÚС – запись сложного высказывания «Если будет дождь, то я возьму зонт или надену плащ». Для правильного вычисления значения логических формул необходимо задать порядок выполнения логических операций. Сначала выполняется операция отрицания Ø, затем конъюнкция Ù и дизъюнкция Ú (они равноправны), затем импликация ® и, последней, эквивалентность «. Как и в алгебре, скобки необходимы для изменения порядка действий, а равноправные операции вычисляются слева направо. Таким образом, для вычисления значения выражения (A « Ú ) ® Ù необходимо сначала определить и , затем выполнить дизъюнкцию Ú , после этого подсчитать значение выражения, стоящего в скобках: A« Ú , далее выполнить конъюнкцию высказываний Ù и, наконец, соединить вычисленные значения высказываний A « Ú и Ù с помощью импликации: (A « Ú ) ® Ù . Порядок выполнения операций будет таков: . Вычислим значение истинности этой логической формулы при всевозможных комбинациях значений логических переменных, составляющих эту формулу. Делать такие вычисления удобнее с помощью таблицы, в каждой строке которой анализируется одна комбинация значений простых высказываний, а в столбцах вычисляются все операции по порядку. Такие таблицы, построенные для сложных высказываний, называются таблицами истинности или таблицами Куайна[2]. Определение. Таблица истинности составляется с помощью перебора всех возможных комбинаций значений простых высказываний, из которых состоит сложное, и содержит соответствующие значения сложного высказывания. Пример 8. Построим таблицу истинности для приведенного выше сложного высказывания:
(A « Ú ) ® Ù . Так как и А, и В могут принимать два значения, то различных комбинаций значений А и В будет четыре: А=1, В=1; А=1, В=0; А=0, В=1; А=0, В=0. Вычислим значение сложного высказывания в каждом случае по действиям. Пусть простые высказывания А и В истинны: А=1, В=1. Тогда и являются ложными высказываниями: =0, =0. Также ложной будет и дизъюнкция Ú =0. Значение высказывания в скобках A« Ú =0, так как эквивалентность истина«ложь дает ложь. Конъюнкция ложных высказываний Ù также ложна: Ù =0. Результирующее высказывание представляет собой соединение ложь®ложь, что по определению операции импликация есть истина. Значит, (A « Ú ) ® Ù =1 при А=1 и В=1.
Двойной чертой отделяем значения исходных переменных от вычисляемых значений по определениям логических операций. Если логическая формула состоит из трех переменных А, В и С, то строк в таблице истинности будет 8. Действительно, для каждого значения высказывания С, а их два: истина и ложь, существуют 4 комбинации значений А и В. Если в сложном высказывании – n простых, то логических возможностей – строк таблицы истинности будет . К примеру, при n=10, число различных комбинаций значений переменных - число строк таблицы . Пример 9. В деле об убийстве имеются двое подозреваемых - Иванов и Петров. Допросили четырех свидетелей, которые последовательно дали такие показания: "Иванов не виноват", "Петров не виноват", "Из двух первых показаний по меньшей мере одно истинно", "Показания третьего ложны". Четвертый свидетель оказался прав. Кто виновен? Решение:: Обозначим через I высказывание «Виноват Иванов», P — «Виноват Петров». Именно эти высказывания являются простыми, исходными. Тогда показания подозреваемых описываются следующими формулами алгебры высказываний: Первый свидетель S1: ØI. Второй свидетель S2: ØP. Третий свидетель S3: S1ÚS2=ØIÚØP.
Четвертый свидетель S4: Ø S3 = Ø(ØIÚØP). Построим таблицу истинности, поместив в ее первые три столбца значения исходных высказываний I, P, S, а в следующие столбцы значения высказываний подозреваемых и вспомогательных формул.
Пример 10. Иванов, Петров и Сидоров подозреваются в совершении преступления. В ходе следствия они дали следующие показания: Иванов: Петров виновен, а Сидоров нет. Петров: Если Иванов виновен, то виновен и Сидоров. (Они всегда действуют сообща). Сидоров: Я невиновен, но хотя бы один из них двоих виновен. Необходимо установить: а) Совместимы ли показания всех троих подозреваемых, т.е. могут ли они быть одновременно истинны? б) Предполагая, что показания всех обвиняемых истинны, укажите, кто виновен, а кто нет? в) Если все трое невиновны, то кто лжесвидетельствует? Решение: Обозначим через I высказывание «Виноват Иванов», P — «Виноват Петров», S — «Виноват Сидоров». Именно эти высказывания являются простыми, исходными. Тогда показания подозреваемых описываются следующими формулами алгебры высказываний: Иванов: P Ù . Петров: I ® S. Сидоров: Ù (I Ú P). Построим таблицу истинности, поместив в ее первые три столбца значения исходных высказываний I, P, S, а в следующие столбцы значения высказываний подозреваемых и вспомогательных формул.
Теперь ответим на вопросы задачи. а) Показания Иванова, Петрова и Сидорова одновременно истинны, т.е. имеют значение 1, в шестой строке таблицы. Таким образом, показания всех подозреваемых совместны. б) Если показания всех обвиняемых истинны (пункт а) – шестая строка таблицы), то в этом случае P=1, а I=0 и S=0, т.е. виновен Петров, а Иванов и Сидоров – невиновны. в) И, наконец, если все подозреваемые невиновны P=0, I=0, S=0 (восьмая строка), то лишь Петров говорит правду, а Иванов и Сидоров по какой-то причине лжесвидетельствуют. Определение. Высказывание В называют логическим следствием высказываний , если во всех случаях, когда все высказывания одновременно истинны высказывание В будет также истинно. При этом высказывания называются посылками логического следствия, а высказывание В - заключением. Факт того, что В является логическим следствием высказываний записывается так: ½= В. Эта запись читается: «Пусть , тогда В» или «Из следует В». Одной из главных задач логики и является проверка того, что заключение действительно представляет собой логическое следствие посылок. Самый прямолинейный способ такого доказательства (он может оказаться достаточно трудоемким) состоит в построении таблицы истинности посылок и заключения. При этом если во всех строчках, в которых все посылки истинны, заключение будет также истинно, то оно действительно является логическим следствием данных утверждений.
Пример 11. Проверить следующее рассуждение: «Если гражданин законопослушен, он не совершит преступления. Гражданин Иванов - не законопослушен. Значит, он совершит преступление». Решение: Обозначим высказывание «гражданин законопослушен» через А, а высказывание «он совершит преступление» через В. Необходимо проверить, что из высказываний и следует В, т.е. , . Проверим данное рассуждение с помощью таблицы истинности. Рассмотрим строки, в которых высказывания и одновременно истинны. Таких строк две: третья и четвертая. В третьей строке высказывание В также истинно, а вот в четвертой – ложно. Таким образом, не во всех случаях, когда высказывания и одновременно истинны высказывание В будет также истинно. Высказывание В называют не является логическим следствием высказываний , . Вывод: рассмотренное рассуждение неверно. Отвлекаясь от математической логики, можно заметить, что Иванов будет незаконопослушным, если переходит улицу на красный свет светофора. А это отнюдь не является преступлением.
Контрольные вопросы: 1. Понятие высказывания. 2. Логические операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквивалентность. 3. Логические формулы. Решение логических задач. Основная литература 1. Информационные технологии в юридической деятельности: учебник для бакалавров / под общ. ред. П.У. Кузнецова. – М: Издательство Юрайт, 2012. – 422с. – Серия: Бакалавр. ISBN 978-5-9916-1509-9. 2. Давыдов, А.С. Математика и информатика. Раздел «Математика»: учебное пособие / А.С. Давыдов, А.П. Соколов. – Челябинский юридический институт МВД РФ (ЧелЮИ МВД России), 2010. – 76 с. 3. Гресс, П.В. Математика для гуманитариев: учебное пособие / П.В. Гресс. – М.: Университетская книга, Логос, 2010. – 160 с. ISBN 978-5-98704-094-9. 4. Арбузов, П.В. Высшая математика для юристов: учебное пособие / П.В. Арбузов, В.Н. Герасименко, С.В. Гуде, Д.В. Медянцев. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2009. – 448 с. – ISBN: 978-5-222-12688-2. Дополнительная литература 5. Информатика. Базовый курс: учебное пособие: рекомендовано Министерством образования и науки РФ / под ред. С. В. Симонович. – СПб: Питер, 2009. – 639 с. ISBN 5-947237-52-8 (*).
6. Попов, А.М. Информатика и математика: учебное пособие: рекомендовано УМЦ / А.М. Попов, В.Н. Сотников, Е.И. Нагаева, под ред. А.М. Попова. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 302 с. ISBN 5-238-01396-1 (*). 7. Информационные технологии в юридической деятельности. Учебное пособие для бакалавров. Гриф МО РФ / под редакцией В.Д. Элькина. – М: Юрайт, 2012. – 527 c. ISBN 978-5-9916-1766-6. [1] От английских слов «true» и «false». [2] Уиллард Ван Орман Куайн (1908—2000) – американский философ, логик и математик.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 1497; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.21.159.113 (0.029 с.) |