Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.

Тогда:

V_B= V_A cosα /cosβ

Угловая скорость и угловое ускорение одинаковы для всех точек тела. Угловую скорость ω можно найти, если определены проекции скоростей т. А, В на ось Y, перпендикулярную к оси X, которая проходит через т. А, В − V_AY, V_BY

V_AY=V_Asinα; V_BY= V_B sinβ.

Угловая скорость тела:

Мгновенный центр скоростей

Скорость любой точки фигуры при ее плоском движении можно найти с помощью мгновенного центра скоростей (точки сечения, скорость которой в данный момент времени равна нулю).

Пусть известна скорость т. А и направление скорости т. В при плоском движении твердого тела. Проведем перпендикуляры АР и ВР к направлениям скоростей точек А, В.

Проекции скоростей точек, лежащих на линиях АР и ВР (например т. А₁ и В₁) на эти линии равны нулю. В точке пересечения этих линий скорость, проекции которой на две непараллельные оси равны 0, равна нулю.

Положение мгновенного центра скоростей определяется как точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей двух точек тела. Угловую скорость тела ω можно найти из соотношения.

здесь т. Р − мгновенный центр скоростей, АР и ВР − расстояния от точек до мгновенного центра скоростей.

После того как положение мгновенного центра скоростей (т. Р) найдена, скорость любой точки тела определяется как вращательная скорость вокруг т. Р:

Пример 1. Линейка эллипсографа шарнирно соединена с ползунами А, В, которые перемещаются по прямолинейным напрвляющим

OX и OY. Скорость т. А − v_А задана. Найти скорость точки В.

Решение. Поскольку направления и известны, то проектируя их на АВ, согласно теореме о проекциях скоростей, получим:

; .

Примерами плоского движения являются движение шатуна кривошипно-шатунного механизма и качение колеса.

Пример 2. Определить скорость ползуна кривошипно-шатунного механизма в заданном положении при известной угловой скорости w кривошипа, длина которого OA = r

Решение.

1. Кривошип ОА вращается вокруг т. О. Скорость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА:

 

ОА.

2. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Проекции скоростей т. А и В на линию, которая их соединяет равны:

;

3. Такой же результат получим при определении скоростей, используя мгновенный центр (МЦС). Проведем линии АР, ВР перпендикулярно направлениям скоростей в этих точках. Точка их пересечения является МЦС.

Угловая скорость звена АВ

‌ω_АВ= v_A/ AP= v_B/ BP

v_B= v_A BP/ AP

В прямоугольном треугольнике АРВ угол АРВ 30° и

BP/ AP =1 / cos 30°

 

 

Лк 2 КУ Лк 3

Ускорения точек твердого тела при его

плоскопараллельном движении

Ускорение любой точки плоской фигуры при ее плоском движении равно геометрической сумме ускорений полюса и ускорений точек при вращении фигуры относительно полюса. Вращательное ускорение равно геометрической сумме нормального и касательного ускорений.

Полное ускорение т. В равно векторной сумме ускорения т. А, а также нормального и тангенциального ускорений т. В относительно А

Вектор нормального ускорения направлен от т. В к т. А, а его модуль:

а_ВАⁿ= ω_АВ² АВ

здесь ω_АВ − угловая скорость тела.

Вектор тангенциального ускорения т. В относительно А направлен перпендикулярно к АВ, а его модуль:

здесь ε − угловое ускорение.

Таким образом, ускорение какой либо точки (например, точки В) твердого тела можно определить, если дано значениях ускорения полюса , известны угловая скорость w и угловое ускорение e тела. В некоторых случаях вместо углового ускорения могут использоваться данные о направлении ускорения в т. В или одной, например, тангенциальной, составляющей.

,

где - ускорение точки В при вращении вокруг точки А: .

Нормальное (центростремительное) ускорение направлено от точки В к полюсу А, .

Тангенциальное (вращательное ускорение) перпендикулярно к нормальному и линии, соединяющей полюс с т. В АВ, а его величина:

. Пример. Определить ускорение т. В кривошипно-шатунного механизма в заданном положении. Кривошип ОА длиной 0,6 м делает n=300 об./мин.

Решение. 1. Кривошип ОА вращается вокруг т. О, а его угловая скорость:

ω_ОА= p n/ 30 == 10p с⁻¹

Скорость т. А направлена перпендикулярно к радиусу ОА:

v_A=6p м/с; ОА.

Скорости точек тела можно определить графически, если откладывать векторы скоростей в масштабе в соответствии с их направлением.

v_BA= v_B sin 30°= v_A tg 30°=3,464p м/с

Ускорение т. В:

(1)

В уравнении (1) известны направления всех векторов, легко определить модули ускорений а_А, а_ВАⁿ. Ускорение а_В направлено по направляющей также как и скорость т. В. Нормальное ускорения а_ВАⁿ − от т. В к А, а тангенциальное перпендикулярно к АВ.

1. Нормальное ускорение т. А

а_Аⁿ= ω²_ОА ОА= 60 p² м/с²; т. к. ω=const;

ε=0; а _А ^τ= 0.

Полное ускорение а _А =а_Аⁿ и направлено от т. А к центру вращения в т. О.

2. Угловая скорость звена АВ

ω_АВ= v_BA / ВА

AB=1,039 м; ω_АВ= 3,33p м/с

3. Нормальное ускорение т. B относительно А:

а_ВАⁿ= ω²_АВАВ= 10,39 p² м/с²

4. Выберем направление координатной оси Y таким образом, чтобы оно совпадало направлением звена АО, направление оси X тогда будет совпадать с направлением

 

звена АВ. Модули ускорений а_В, а_ВА^τ определим, проектируя левую и правую части уравнения (1) на оси координат X, Y:

а_В cos 30°=а_ВАⁿ

а_В sin 30°=а_А −а_ВА^τ