Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.Стр 1 из 7Следующая ⇒
Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Определение: Числовой последовательностью назыв множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров. у1, у2, …, уn={yn}→yn=f(n), где у1, у2 –члены, yn=f(n) –общий член последов. Определение: Число а назыв пределом последов, если >0, сколь угодно малого , что для всех n> N(), выполняется , при этом =a, (a-ε;a+ε) - окрестность Геометрическая интерпретация y=f(x) – ф-ция, х - аргумент ф-ции, х→а, f(x) →А, А предел ф-ции Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→а, если >0, сколь угодно малого, >0, что для всех x, для которых выполняется условие < , имеет место < =A Замечание: 1) х→а как угодно; 2) f(x) в точке а может быть и не определена. Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→∞, если >0, сколь угодно малого, , что для всех x,|x|>N, выполняется. < =A Теорема: Любая функция, имеющая предел, является ограниченной.
Теоремы о пределах. Односторонние пределы. Теорема 1: Пусть lim{x→a}f(x)=А и lim{x→a}g(x)=В, тогда 1)lim{x→a}(f(x)+g(x)) = А+В; 2)lim{x→a}(f(x)*g(x)) = А*В; 3)lim{x→a}(f(x)/g(x)) =А/В Теорема 2: lim f1(x)= А1 lim f2(x) = А2, f1(x)<=f2(x), x D(f) => A1<A2 Теорема 3: lim f1(x)=А, lim f2(x) = А, f1(x)<f(x)<f2(x) => lim f(x) =A Определение: если при вычислении предела lim{x→a}f(x) при х→а, Х остаётся всё время меньше (больше) а, то предел называется левым(правым) – оба односторонние. Замечание: 1) Если сущ-ют и равны м/у собой односторонние пределы, то они равны пределу f(x), при х→а. 2) Если существует предел данной функции, то существует и его односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1 Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: (1) (где SsectOKA — площадь сектора OKA) (из : | LA | = tg x) Подставляя в (1), получим: Так как при : Умножаем на sin x: Перейдём к пределу: Найдём левый односторонний предел: Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия Второй замечательный предел Доказательство второго замечательного предела: Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x) Докажем вначале теорему для случая последовательности По формуле бинома Ньютона: Полагая , получим: (1) Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом (2). Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: . Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии: . Поэтому (3). Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): . Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е. Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая: 1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [ x ] - это целая часть x. Отсюда следует: , поэтому . Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем: . По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов . 2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда . Из двух этих случаев вытекает, что для любого x. Точки разрыва. Если для y=f(x) рав-во (3): f(x0 -0)+f(x0 +0) =f(x0) нарушается, то х0 - точка разрыва Характер нарушения рав-ва (3) кладется в основу классификации точек разрыва: 1. а) если f(x0 -0) и f(x0 +0) сущ-ют и f(x0 -0) ≠f(x0 +0), то х0 - наз. т-кой разрыва 1-го рода с конечным скачком. Разность f(x0 -0)-f(x0 +0) наз скачком ф-ции в т.х 0 b)Если в т. х f(x0 -0) = f(x0 +0) ≠f(x0), то х0 наз т-кой разрыва 1 рода устранимой.
2. Если хотя бы один из пределов f(x 0-0) или f(x0 +0) не сущ-ет или =∞, то х0 наз т-кой разрыва 2-го рода ф-ции y=f(x) Теоремы о непрерывных ф-ях. Т 1. Если y=f(x) и y=g(x) непрерывны в т. x 0, то в этой т-ке непрерывны также f(x) ±g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x),(g(x0) ≠0) Т 2. Сложная ф-ция, составленная из конечного числа непрерывных ф-ций непрерывна. Т 3. Ф-я обратная к непрерывной и монотонной ф-ции непрерывна. Вывод: Все элементарные ф-ции непрерывны в областях, где они определены Геометрический смысл
f(x)=tg – угловой коэффициент касательной Следствия. 1) (cu)'=cu', где с=const 2) (u*v*w)=u'vw+v'uw+w'uv Ур.кас-ой. нормали. Касательная - предельное положение секущей. Нормаль-прямая, перпендик. касательной в точке. Геом.смысл производной f’(x)=tgA=K Из аналит.геом Ур.кос:y-y0=f’(x0)(x-x0) K=-1/f’(x0) Ур.нормали y-y0=-(x-x0)/f’(x0) Диф-ы сложных ф-ий Расм. Сложную ф-ию {y=f(u),u=g(x)} Y=f(g(x))=F(x) dy=F’(x)dx=f’ (u)g’(x)dx=f’(u)du Св.инвариантности: диф-л 1-го порядка сохр. свою форму независимо от того будет ли аргумент ф-ии независимой переменной или функцией. Для диф-в высшего порядка это св-во не сохраняется
Дост. признак экстремума Пусть т. Х0-критическая (f’(x0)=0, несущ.) если Правило нахождения экстремума 1. D(x)? 2.f’(x)? 3. крит точки? 4. разбить D(f) точками (+-) 5. Ответ Дост. признак экстремума Пустьf’(x0)=0, f’’(x0)≠0 то если f’’(x0)<0 то x0-т.max, f’’(x0)>0 то x0-т.min
Вертикальные асимптоты - Наклонная асимптота Прямая y=kx+b-накл.ассимп графика ф-ии y=f(x) если f(x)-kx-b→0, т. к. по формуле нахождения расстояния от точки то графика Теорема Для того чтоб прямая y=kx+b была наклон асимп.грфика ф-ии y=(x) необходимо и достаточно чтобы Горизонтальная Если при нахождении накл.ас. к=0 то y=b- г.о.
Предел и непрерывность. Определение. Окрестностью радиуса r точки М0(х0,y0) называется множество точек М(x,y) координаты которых удовлетворяют неравенству
Определение. Число А называется пределом функции f(x,у) при М(х;у)->М0(х0,у0), если для любого наперед заданного ε > 0 существует такой радиус r, что для всех точек из окрестности радиуса r точки М0 выполняется: | f (x,y) - f (x0,y0)| < E и обозначается A=lim {x→х0 y→у0} f (x;y) причем x;y стремятся к точке М0 произвольным образом. Замечание. В некоторых случаях предел функции зависит от порядка вычисления предела по аргументам. Определение. Функция f (х;у) называется непрерывной в точке M0, если в окрестности этой точки выполняется соотношение (3) Lim{ x → х0; y → у0 } f(x,y) = f(x0;y0) Определение. Функция, непрерывная во всех точках области, называется непрерывной в этой области, преобразуем соотношение Lim { ∆x →0 ∆y→0 }[ f(x,y) - f(x0;y0)]=0 Так как x → x0 и y → y0, x=x0 + ∆x, y =y0 + ∆y, ∆x→0, ∆y→0 То имеем Lim{ ∆x→0, ∆y→0 } [ f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0;y0)]=0 Определение. Если предел полного приращения при ∆ х → 0 и ∆ y → 0 равняется нулю, то функция называется непрерывной в точке x0,y0. Определение. Точка разрыва x1,y1, может быть в следующих случаи: 1.Функция f(x,у) в точке х1, у1 не определена. 2.Функция f(x, у) определена в самой точке и в окрестности ее, a предел не существует З.Существует предел функции, функция определена в точке в и ее окрестности, но не выполняется равенство (3) при х → х1, у → y1
II. Метод замены переменной
∫f(x)dx=|x=φ(t), dx=φ’(t)dt|=∫f(φ(t))φ’(t)dt Геометрический смысл 1) f(x)≥0 [а,b], то 2) f(x) – знакопеременна на [а,b] По определению полагаем 1) 2) Свойства определенного интеграла: 1) 2) 3) 4) Если точка С разбивает [а,b] на [а,с] и [с,b], то интеграл
5) Если
Тройной интеграл Тройным интегралом называют кратный интеграл с . Здесь — элемент объема в рассматриваемых координатах. В прямоугольных координатах , где является элементом объема в прямоугольных координатах. Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции. Определение: Числовой последовательностью назыв множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел и расположенных в порядке возрастания их номеров. у1, у2, …, уn={yn}→yn=f(n), где у1, у2 –члены, yn=f(n) –общий член последов. Определение: Число а назыв пределом последов, если >0, сколь угодно малого , что для всех n> N(), выполняется , при этом =a, (a-ε;a+ε) - окрестность Геометрическая интерпретация y=f(x) – ф-ция, х - аргумент ф-ции, х→а, f(x) →А, А предел ф-ции Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→а, если >0, сколь угодно малого, >0, что для всех x, для которых выполняется условие < , имеет место < =A Замечание: 1) х→а как угодно; 2) f(x) в точке а может быть и не определена. Определение: числа А назыв. пределом ф-ции f(x) при х→∞, если >0, сколь угодно малого, , что для всех x,|x|>N, выполняется. < =A Теорема: Любая функция, имеющая предел, является ограниченной.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 145; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.133.145.217 (0.106 с.) |