Требуется определить какое количество мороженного каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение. Обозначим: х₁ – суточный объем выпуска сливочного мороженного, кг; х₂ – суточный объем выпуска шоколадного мороженного, кг.

Из данных таблицы и условий задачи следует, что должны выполняться условия:

0,8 х₁ + 0,5х₂ ≤ 400, (1)

0,4 х₁ + 0,8х₂ ≤ 365, (2)

х₁ – х₂ ≤ 100, (3)

х₂ ≤ 350, (4)

Уравнения (1) – (4) определяют такие варианты производственного плана, при выполнении которых полностью используются запасы ресурсов по молоку и наполнителю, а также выполняются условия по спросу, тогда как неравенства (1) – (4) описывают такие варианты плана производства, при выполнении которых имеющиеся ресурсы и спрос не используются полностью. Доход от продажи мороженого составляет:

F(x) = 16x₁ + 14x₂, (5)

Введем такие вспомогательные переменные х₃, х₄ , х₅, х_6, чтобы иметь

0,8 х₁ + 0,5х₂ + х₃ = 400, (1а)

0,4 х₁ + 0,8х₂ + х₄ = 365, (2а)

х₁ – х₂ + х₅ = 100, (3а)

0 х₁ + х₂ + х₆ = 350, (4а)

16 x₁ + 14 x₂ = F (5а)

Из определения вспомогательных переменных следует, что они обозначают неиспользованный остаток ресурса.

Симплекс-метод состоит в последовательном улучшении вариантов плана вплоть до нахождения оптимального варианта

В качестве первого, очевидно, наименее выгодного, можно принять вариант плана, в котором х₁ = х₂ = 0. Тогда доход – F = 0, а ресурсы не используются. От первого варианта можно перейти ко второму – лучшему, введя в план одно из изделий. Выгоднее ввести в план производство сливочного мороженого, ибо оно обеспечивает наибольший доход на единицу изделия.

Учитывая исходные данные можно установить объем производства сливочного мороженого. По молоку он составляет 500 кг (400:0,8), по наполнителю – 912,5 (365:0,4) и по спросу – 100 (100:1). Допустимый объем производства определяет разница в спросе на сливочное и шоколадное мороженое.

Таким образом, если бы шоколадное мороженое не выпускалось, то при условии полного использования ресурса по спросу (х₅ = 0) можно было бы выпускать 100 кг сливочного мороженого. Тогда доход составил бы

F(x) = 16*100 + 14*0 = 1600 руб.

Для возможного улучшения первого варианта плана (х₁ = 100; х₂ = 0) из уравнения (3а) находим:

х₁ = 100 + х₂ – х₅

и подставляем это значение в уравнения (1а), (2а), (3а), (4а), (5а), получим:

1,3х₂ + х₃ – 0,8 х₅ = 320, (1 b)

1,2х₂ + х₄ – 0,4 х₅ = 325, (2b)

х₁ – х₂ + х₅ = 100, (3b)

х₂ + х₆ = 350, (4b)

30 x₂ – 16 х₅ = F – 1600, (5b)

Из уравнения (5 b) следует, что размер дохода можно увеличить, введя в план производство шоколадного мороженого в количестве x_2.

Числовые коэффициенты при неизвестном x₂ в уравнениях (1 b), (2b), (4b) суть изменившиеся нормы расхода на единицу шоколадного мороженого, а количество шоколадного мороженого, которое может быть изготовлено, составляет по молоку (320 / ), по наполнителю (325/ ) и 350 (350:1) по спросу. Допустимый объем производства шоколадного мороженого определяет ресурс молоко.

Так мы получим второй улучшенный вариант плана: х₁ = 100 кг, х₂ = кг. Соответствующий доход будет:

F(x) = 16*100 + 30* = = 8984,62 руб.

Чтобы исследовать, нельзя ли улучшить второй вариант плана, находим из уравнения (1 b):

х₂ = – х₃ + x₅

и подставляем это выражение в уравнения (2 b), (3b), (4b), (5b).

Получаем:

_Х2 + ^Х3 – _Х5 = , (1с)

– _Х3 + _Х4 + _Х5 = , (2с)

х₁ + _Х3 – _Х4 + _Х5 = , (3с)

– _Х3 + _Х4 + _Х5 + _Х6 = , (4с)

– _Х3 + _Х5 = F – , (5с)

Из уравнения (5с) видно, что доход можно увеличить за счет ресурса «разность спроса». Повторяем вышеописанные процедуры, получим:

_Х2 – 0,91_{Х3 +} 1.82 _Х4 = 300, (1d)

– 2,727 _Х3 + 2,95 х₄ + _Х5 = 87,5, (2d)

_Х1 + 1,818 _Х3 – 1,14 _Х4 = 312,5, (3d)

+ 0,909 _Х3 – 1,82 _Х4 + _Х6 = 50, (4d)

– 16,36 _Х3 – 7,27 _Х4 = F – 9200, (5d)

Из уравнения (5 d) видно, что в нем нет ни одной переменной посредством которой можно было бы увеличивать доход, ибо коэффициенты при переменных в этом уравнении отрицательные. Доход достигает максимума именно потому что _Х3 = _Х4 = 0.

Подставляя _Х3 = _Х4 = 0 последовательно в уравнения (1 d) - (5d) находим:

_Х1 =312,5; _Х2 =300; _Х3 = _Х4 = 0; _Х5 = 87,5; _Х6 = 50

Таким образом, оптимальный план, дающий максимальный доход, состоит в выпуске 312,5 кг. сливочного мороженого и 300 кг. шоколадного мороженого, доход в этом случае составит 9200 руб. При этом неиспользованный остаток ресурсов по спросу составит соответственно 87,5 и 50 кг.