Резерв в долгосрочном медицинском страховании

Как отмечалось выше, особенностью долгосрочного медицинского страхования является одновременность двух потоков платежей — взносов и оплат медицинских услуг. Первый из них представляет собой регулярный страховой аннуитет с фиксированной суммой платежа. Второй поток менее определенен, и приходится ориентироваться на некоторые средние расходы, зависящие от возраста застрахованного.

Общая формула (11.1) для расчета резерва конкретизируется в зависимости от условий страхования и принятых гипотез о методе формирования величин, характеризующих затраты на лечение. Сначала рассмотрим процесс накопления резерва в долгосрочном медицинском страховании в упрощенных условиях, что позволит выявить некоторые важные свойства этого процесса.

Пусть контракт заключен в возрасте х лет, страхование немедленное пожизненное. Размер нетто-премии постоянен на протяжении всего срока контракта и равен Р_х. Современная стоимость обязательств, определенная для возраста х лет, составляет A_x, а современная стоимость нетто-премий (выплачиваемых пренумерандо) на этот же момент равна . В силу сказанного, если при заключении контракта взнос еще не сделан, то

.

На этот же момент, но после уплаты первого взноса резерв отличен от нуля:

Аналогично находим резерв для возраста x + t лет:

(11.17)

Современную стоимость страховых выплат, производимых с возраста х + t лет, можно по определению найти следующим образом:

,

где — расчетный уровень нетто-премии для застрахованного в возрасте х + t лет.

Преобразуем формулу (11.17), используя последнее выражение.

. (11.18)

Размер резерва в любой момент после заключения контракта в возрасте х лет, как видим, зависит от двух факторов — разности расчетных уровней нетто-премий и стоимости постоянного страхового аннуитета. Разность премий увеличивается с каждым годом, а стоимость аннуитета снижается. В итоге резерв растет до некоторого критического возраста, а затем сокращается, и в предельном возрасте w он равен нулю.

Как видим, с увеличением возраста страхования максимальный размер резерва уменьшается, и это понятно, поскольку сокращается срок как для накопления, так и для страховых выплат. В то же время, как было показано в предыдущей главе, систематически увеличивается величина нетто-премии.

Представляет определенный интерес соотношение размеров резерва для возраста х и х + t лет. Для вывода соответствующего выражения вернемся к формуле (11.17) и преобразуем ее составляющие , и . Напомним, что коммутационные функции определяются как

и .

Таким образом,

Так как и (см. § 5.4), то второе слагаемое в последней формуле равно . В свою очередь,

В итоге имеем

Преобразуем полученный результат:

Два последних члена разделим и умножим на и . После ряда преобразований получим

(11.19)

Разность в первых скобках представляет собой экономию в оплате медицинских расходов в первые годы страхования и переплату по сравнению с нетто-премией в последующие. Разность во вторых скобках характеризует величину резерва для возраста х + t + 1 лет, т. е. .

Решим уравнение (11.19) относительно :

(11.20)

Если в страховании на дожитие и в пенсионном страховании при единовременном взносе премии на размер динамики резерва оказывают влияние два фактора, то в данном случае помимо процентной ставки и вероятностей остаться в числе застрахованных влияет и разность Р_х - К_х+t.