Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод сведения интеграла к самому себе
Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра: Пример 5 Найти неопределенный интеграл . Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе, не сложно. Если знаешь как. Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой I и начнем решение: . Интегрируем по частям: . . (1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления. (2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишем подробнее: . (3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. (4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм). Теперь смотрим на самое начало решения: И на концовку: Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе! Приравниваем начало и конец: Переносим I в левую часть со сменой знака: А двойку сносим в правую часть. В результате: Или: Константу C, строго говоря, надо было добавить ранее, но мы приписали её в конце. Настоятельно рекомендуем прочитать в примечании, в чём тут строгость:
Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:
Таким образом:
Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы. В результате:
Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. Там будем строгими, особенно при определении частных решений. А здесь такая вольность допускается только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования. Пример 6 Найти неопределенный интеграл . Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!
Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, или его часть, то решение в любом случае сводится к двум разобранным Примерам 5 и 6. Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – это тождественными преобразованиями предварительно выделить полный квадрат:
. Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»: , в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда (см. Пример 5)?
Или такой пример, с квадратным двучленом: Выделяем полный квадрат: И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.
Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе: – интеграл от экспоненты, умноженной на синус; – интеграл от экспоненты, умноженной на косинус. В этих перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза: Пример 7 Найти неопределенный интеграл . Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус. Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе: В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения: Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл: Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.
Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям: За u мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно ли экспоненту всегда нужно обозначать за u? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за u, можно было пойти другим путём: .
Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании). То есть, за u можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть. Пример 8 Найти неопределенный интеграл . Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за u, экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.
Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность. На завершающем этапе часто получается примерно следующее: Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 182; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.20.101 (0.01 с.) |