Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Аналитическая геометрия в пространстве. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Уравнение плоскости. .Пусть в декартовой системе координат в пространстве дана точка М , заданная радиус-вектором { х ,у , }. Пусть также задан некоторый вектор . Построим уравнение плоскости Р проходящей через точку M перпендикулярно вектору . Пусть M(x, , z) - любая точка плоскости с радиус-вектором . Тогда вектор = будет перпендикулярен вектору . Скалярное произведение и равен нулю: . В координатной форме это уравнение имеет вид:
А(х- х ) +В(у- у ) + C(z- z ) = 0. (1)
Данное уравнение определяет уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору . Вектор { А,В,С } называется нормальным вектором плоскости (1).
Теорема. Любая плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени и является поверхностью первого порядка. Верно и обратное утверждение: любое уравнение первой степени относительно переменных х, у, z определяет плоскость в пространстве.
. Общее уравнение плоскости (2). Вектор - является нормальным вектором плоскости (1) или (2). . Особые случаи уравнения : а) , - плоскость проходит через начало координат. б) , - плоскость параллельна оси oz. в) , - плоскость проходит через ось oz. г) , - плоскость параллельна плоскости . д) Уравнение координатных плоскостей х=0, у=0, z=0 . е) Уравнение плоскости в отрезках на осях: . (3) . Пусть заданы две плоскости , . Угол образованный двумя плоскостями: ,. (4) Условие параллельности плоскостей . (5) Условие перпендикулярности плоскостей . (6) Расстояние от точки до плоскости : . (7)
Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор . Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково: или
Пример 2. Написать уравнение плоскости проходящей через точки и и перпендикулярной плоскости . Решение. Вектор есть нормальный вектор плоскости . Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы , и - компланарны. Условие компланарности данных трёх векторов есть: , или - уравнение искомой плоскости.
Пример 3. Найти расстояние от точки до плоскости . Решение. Уравнение прямой. .Найдем уравнение прямой проходящей через точку и параллельной вектору . Пусть - произвольная точка прямой, тогда и по условию параллельности векторов:
(8) Уравнение (8)- называется каноническим и является искомым уравнением прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой. . Параметрическое уравнение прямой: (9) .Уравнение прямой, проходящей через две точки : (10)
. Общее уравнение прямой: (11) . Угол между прямыми. Угол между прямыми, заданными их каноническими уравнениями: и определяется по формуле (12) Условие параллельности двух прямых: (13) Условие перпендикулярности двух прямых: (14) Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованной прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле ; (15) Условие параллельности прямой и плоскости (16); Условие перпендикулярности прямой и плоскости (17). .Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметрическое уравнение прямой , , , и подставив ее в уравнение плоскости , получим некоторое значение . Подставив найденное значение в уравнение прямой, находим искомую точку пересечения прямой с плоскостью.
Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки и . Решение. Воспользуемся формулой (10) получим: или .
Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми и . Решение. Точка - точка первой прямой, - точка второй прямой. - направляющий вектор. , где - угол между векторами и N. , . . . и Ответ: .
Пример 6. Для пирамиды с вершинами в точках: , найти а) длину ребра б) угол между ребрами и в) уравнение плоскости г) площадь грани д) угол между ребром и плоскостью е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань ж) объем пирамиды Решение. а) Длина ребра . б) Угол между ребрами и . Обозначим через - угол между ребрами и . Тогда, если угол между векторами и острый, то равен этому углу, если же угол между этими векторами тупой, то равен этому углу минус . Так как , , , то . Отсюда, угол между векторами и равен . Следовательно, . в) Уравнение плоскости . Уравнение плоскости, проходящей через три точки, вычисляется по формуле где -соответственно координаты этих точек. Таким образом,
, - уравнение плоскости . г) Площадь грани . Так как и , то . Отсюда - площадь грани . д) Угол между ребром и плоскостью . Угол между ребром и плоскостью равен , где -угол между вектором и нормалью к плоскости , т.е. -угол между векторами и и . Так как , то , , , , то . Следовательно, и . е) Уравнение высоты, опущенной из точки на грань . Пусть M – произвольная точка прямой, перпендикулярной плоскости грани и проходящей через точку . Тогда скалярные произведения и .Так как , и , то Следовательно, -уравнение искомой прямой. Или - каноническое уравнение искомой прямой. ж) Объем пирамиды . Так как , , , то
; - объем пирамиды . Контрольные вопросы. 1. Уравнение плоскости. 2. Угол между плоскостями. 3. Расстояние от точки до плоскости. 4. Уравнение прямой. 5. Угол между прямыми. 6. Прямая и плоскость Задания. 1. Найти расстояние точки от плоскости проходящей через точки , , . 2. Найти плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости Найти угол между плоскостями и 3. Составить параметрическое уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору . 4. Составить каноническое уравнение прямой, проходящие через две данные точки и . 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной плоскости . 6.Для пирамиды с вершинами в точках: , найти а) длину ребра б) угол между ребрами и в) уравнение плоскости г) площадь грани д) угол между ребром и плоскостью е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань ж) объем пирамиды
Занятие 6 Кривые второго порядка. Окружность Окружность- это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным :
Если раскрыть скобки в левой части уравнения (1) то получится уравнение вида Пример 1. Написать уравнение окружности с центром и радиусом . Решение. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом есть: . 1.Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная 2а. Т.е., если - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса имеем: . Числа , называются фокальными радиусами точки . Расстояние между фокусами и обозначим через 2с. Примем за ось абсцисс, прямую соединяющую фокусы, выбрав на ней положительное направление от к ; начало координат возьмём в середине отрезка . Тогда координаты точек и будут соответственно: и . Каноническое уравнение эллипса:
(1)
где , . Числа и называются полуосями эллипса. Вершины эллипса имеют следующие координаты , , , . Из уравнения следует, что или Аналогично, Следовательно, эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами, равными 2а и 2b, с центром в начале координат. Если а = b (с = 0), уравнение примет вид: х2 + у2 = а2 и определяет окружность. Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Величина эксцентриситета влияет на форму эллипса. Так, при очень малом а и b почти равны и эллипс напоминает окружность. Если же величина близка к единице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.
Пример2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 8,а малая полуось =3.
Решение. Расстояние между фокусами , следовательно, .Так как ,то .Следовательно, каноническое уравнение данного эллипса есть . 2. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Обозначим эту постоянную через 2а, а- расстояние между фокусами гиперболы. Пусть - произвольная точка гиперболы. По определению гиперболы имеем: Числа , называются фокальными радиусами точки . Каноническое уравнение гиперболы:
(2)
где ,Число а- называется действительной, а число - мнимой полуосями гиперболы. Ось симметрии на которой находятся фокусы, называется фокальной осью, точка пересечения осей симметрии - центром гиперболы;
Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для любой гиперболы величина эксцентриситета определяет форму гиперболы. Замечание 1. у= ( /а) х и у = - ( / а)х - асимптоты гиперболы. Если а = , то такая гипербола называется равносторонней. Замечание 2. Если мнимая ось гиперболы равна 2а и расположена на оси Оx, а действительная ось равна 2 и расположена на оси Оy, то уравнение такой гиперболы имеет вид: y/а - x2/ 2 = 1 (3). Гиперболы (2) и (3) называются сопряженными гиперболами. Пример3. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2.Написать ее уравнение и найти расстояние точки от фокусов. Решение. Общий вид уравнения гиперболы есть: + =1. Гипербола проходит через точку (6,-2 ) и имеет мнимую полуось =2, следовательно, =3, a = 2 .Следовательно, -уравнение искомой гиперболы. . и -фокусы данной гиперболы. , 3. Парабола. Парабола есть геометрическое место точек, равностоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой называемой директрисой.
Выберем систему координат таким образом: за ось Оx примем прямую проходящую через фокус . Пусть - произвольная точка лежащая на параболе. Пусть точка N – основание перпендикуляра опущенного из М на директрису. По определению параболы . Каноническое уравнение параболы:
. (3) Уравнение директрисы записывается в виде: . Точка (0.0) – точка пересечения параболы с осью симметрии и называется вершиной параболы.
Пример4. Написать уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через точки (0,0) и (2,-4). Решение. Уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ и проходящей через начало координат есть .Точка (2,-4)-лежит на параболе, следовательно,(-4) = , и уравнение параболы имеет вид
Контрольные вопросы. 1.Эллипс. 2. Гипербола. 3. Парабола. Задания. 1.Написать уравнение окружности с центром и радиусом . Лежат ли на этой окружности точки , , . 2.Построить эллипс . Найти: 1)полуоси, 2)координаты фокусов,3) эксцентриситет. 3.Построить гиперболу . Найти: 1)действительную и мнимую полуоси, 2)координаты фокусов, 3) эксцентриситет, 4) уравнения асимптот. 4.Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки и от прямой . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-20; просмотров: 628; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.200.164 (0.125 с.) |