![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференциальные уравнения пограничного слояСтр 1 из 6Следующая ⇒
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАГРЕВ Сопротивление удобообтекаемых тел при их движении в жидкостях или газах является в значительной степени сопротивлением от трения среды о поверхность тела. Поэтому весьма важно знать законы трения в жидкостях и газах и уметь рассчитывать сопротивление трения. Установлено, что силы трения жидкости проявляются не во всей среде, а лишь в слое, прилегающем к поверхности движущегося тела, где скорость течения резко изменяется по нормали к поверхности.
Уравнения Навье–Стокса
Запишем уравнение движения (3.8) с учетом внутреннего трения в следующем виде:
Напомним, что Составляющие тензора напряжений можно выразить с помощью обобщенного закона Ньютона (3.12):
где
Тогда, например:
С учетом выражений (3.10) для
Уравнения (7.2) и есть уравнения Навье–Стокса. В общем случае коэффициент вязкости
где Точное решение задачи обтекания какого-либо тела, сводящееся к интегрированию сложных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях, представляет огромные трудности. Для получения каких-либо частных решений прибегают к упрощению дифференциальных уравнений. Так Д. Стокс, решая задачу об обтекании шара потоком вязкой жидкости и сделав допущение о малости инерционных членов, отбросил их полностью. Однако такое упрощение справедливо только при очень малых числах Рейнольдса, незначительно отличающихся от единицы. О. Рейнольдс принял модель несжимаемой жидкости, отбросив полностью инерционные члены, а из вязких членов оставил главнейшие. Этот метод применяется при решении гидродинамических задач теории смазки (при малых числах При изучении обтекания тел при больших числах Рейнольдса, характерных для авиационной и ракетной техники, применяют метод упрощения уравнений Навье–Стокса, основанный на понятии пограничного слоя.
Толщина пограничного слоя
Течение жидкости в пограничном слое может быть ламинарным или турбулентным. При ламинарном течении наблюдается упорядоченное движение жидкости параллельными слоями (слоистое течение) без их перемешивания. Турбулентное течение сопровождается беспорядочным движением частиц (не молекул) жидкости, приводящим к поперечному перемешиванию вязкой среды и к пульсации параметров течения.
Формула Ньютона для силы внутреннего трения при ламинарном течении Во внешнем потоке вне пограничного слоя скорость при удалении от поверхности тела изменяется чрезвычайно медленно. Влияние вязкости здесь пренебрежимо мало, и, следовательно, можно считать, что движение подчиняется законам течения идеальной невязкой жидкости. Изучать движение среды в этой области можно с помощью уравнений Эйлера. Для исследования движения жидкости в областях с большими градиентами скорости необходимо использовать уравнения Навье–Стокса. Благодаря малой толщине пограничного слоя дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости значительно упрощаются. При удалении от поверхности тела скорость течения увеличивается и асимптотически приближается к Обычно за толщину пограничного слоя
Толщина пограничного слоя зависит от положения точки на поверхности тела. На острой передней кромке
Толщина вытеснения
Рассмотрим секундные расходы жидкости через сечение пограничного слоя высотой
Первое слагаемое уравнения представляет собой расход невязкого газа ( Учитывая, что за пределами пограничного слоя отношение скоростей
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Величина
Кроме того, толщина вытеснения характеризует искривление линий тока вследствие торможения потока в пограничном слое (рис. 7.3). Линии тока при обтекании пластинки невязким потоком параллельны поверхности (линия тока 1, рис. 7.3). В вязком потоке линия тока отклоняется от поверхности (линия тока 2, рис. 7.3).
![]()
Так как перед пластинкой линии тока 1 и 2 совпадают, то через сечение АВ с равномерным распределением скорости и через сечение АС с неравномерным распределением скорости протекает одинаковое количество газа (свойство трубки тока):
Отсюда
Следовательно, толщина вытеснения При решении задач с учетом влияния пограничного слоя на внешний поток можно использовать метод последовательных приближений, суть которого заключается в следующем: сначала считая газ невязким, рассчитывается распределение скоростей
Толщина потери импульса
Вследствие торможения потока в пограничном слое происходит не только уменьшение расхода по сравнению с невязким газом, но и уменьшение количества движения, проносимого жидкостью через сечение пограничного слоя, равное Толщина потери импульса
Отсюда Из сопоставления выражений для
В несжимаемой жидкости
Для области тонкого пограничного слоя, в котором собственно и проявляются силы трения, Л. Прандтль предложил особый метод упрощения уравнений движения (7.3), основанный на сравнении порядка величины членов уравнения и отбрасывания членов высшего порядка малости.
и уравнение неразрывности
Эта система уравнений полностью описывает движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя в рамках настоящей задачи. Оценим порядок входящих в эти уравнения членов, имея в виду, что Тогда приращение скорости
С учетом уравнения неразрывности (7.4б)
Сравнение показывает, что оба слагаемых левой части уравнения (инерционные члены) имеют один и тот же порядок малости
Внутри пограничного слоя силы вязкости и силы инерции имеют одинаковый порядок, т. е. их отношение должно быть равным единице. Тогда из уравнения (7.5), записав инерционный и вязкий члены через их порядки, получаем, что их отношение равно Проведя подобный анализ членов второго уравнения (7.4а), приходим к аналогичной выражению (7.5) упрощенной записи:
Инерционные члены этого уравнения имеют порядок
Это один из главных выводов, полученных в результате упрощения исходной системы уравнений. Таким образом, распределение давления вдоль поверхности тела совпадает с распределением давления на внешней границе пограничного слоя, которое можно найти, решая задачу обтекания данного тела невязким (потенциальным) потоком.
Так как
Система уравнений (7.6) интегрируется при следующих граничных условиях: 1) при 2) при
В сжимаемом газе
Для установившегося плоскопараллельного потока сжимаемого газа в уравнениях Навье–Стокса (7.2) произведем оценку порядка величин членов этих уравнений для пограничного слоя несжимаемой жидкости. Тогда первое уравнение системы
после анализа порядков величин его членов упрощается и запишется следующим образом:
Вторым уравнением системы (7.2) так же, как и для несжимаемой жидкости, можно пренебречь. Из него также следует, что Уравнение неразрывности для установившегося движения сжимаемой жидкости (3.1а) для плоского случая запишем как
Так как в уравнении (7.7) коэффициент вязкости
где Таким образом, для установившегося движения сжимаемого газа в пограничном слое необходимо решать систему трех уравнений (7.7). Основные неизвестные в этой системе уравнений – Решение дифференциальных уравнений пограничного слоя, как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости, достаточно сложная процедура даже для простейших тел. В связи с этим используют приближенные методы решения задач пограничного слоя, основанные на рассмотрении интегрального соотношения, являющегося математическим выражением теоремы об изменении количества движения. В несжимаемой среде
Решение задачи об обтекании плоской пластинки в теории сопротивления играет большую роль. Найденная для пластинки зависимость
Для плоской пластинки (рис. 7.6) скорость потенциального течения
Для решения задачи о пограничном слое введем дополнительно еще два соотношения: 1) закон распределения скорости по толщине пограничного слоя 2) уравнение, связывающее касательное напряжение на стенке Вид этих соотношений зависит от состояния пограничного слоя.
Ламинарный пограничный слой
Рассмотрим закон распределения скорости в виде полинома третьей степени (метод Польгаузена)
Коэффициенты полинома Кинематические граничные условия: 1) при 2) при Динамические граничные условия: 1) при 2) при Подставляя указанные граничные условия в уравнения (7.11), получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов
В результате ее решения определим значения коэффициентов:
Выражение для
Вычислим интегралы, входящие в интегральное соотношение:
и
Подставив эти интегралы в интегральное соотношение (7.10), получим обыкновенное дифференциальное уравнение:
Группируя подобные члены и разделяя переменные, получаем В итоге, после небольших преобразований получаем формулу для расчета толщины пограничного слоя:
Как следует из уравнения (7.13), толщина ламинарного пограничного слоя нарастает по параболическому закону. Тогда толщина вытеснения и толщина потери импульса для ламинарного пограничного слоя будут следующие: Введем в рассмотрение местный коэффициент трения
Подставив выражение (7.12) в выражение (7.14) с учетом уравнения (7.13), получаем следующее:
Формула (7.15) показывает, что местный коэффициент трения, имея максимум вблизи передней кромки, уменьшается при удалении от нее. Найдем силу трения, действующую на пластинку, учитывая тот факт, что пограничный слой есть на обеих сторонах пластинки (см. рис. 7.6). Запишем выражения для
и через касательные напряжения (или местный коэффициент трения):
Приравняв правые части этих выражений, получим зависимость для расчета коэффициента сопротивления трения плоской пластинки через местный коэффициент трения:
С учетом формулы (7.15) формула для коэффициента сопротивления трения плоской пластинки при ламинарном пограничном слое принимает вид
В уравнении (7.17) в качестве характерного линейного размера в числе Рейнольдса используется хорда пластинки В сжимаемом газе
Рассмотрим некоторые особенности пограничного слоя в сжимаемом газе. При малых скоростях движения кинетический нагрев газа вследствие его торможения в пограничном слое на поверхности ЛА практически отсутствует, так как температура торможения очень мало отличается от температуры потока. Например, при числе Маха Нам уже известно, что по сечению пограничного слоя
Формула для расчета температуры восстановления получается из формулы для расчета
где
Среднее значение числа Прандтля для воздуха равно Тогда для воздуха (
Учитывая, что значительное повышение температуры наблюдается только в тонком слое вблизи стенки, вводится понятие о тепловом (температурном) пограничном слое, в пределах которого температура изменяется от температуры газа вблизи стенки Изменение температуры в пограничном слое приводит к изменению плотности газа
|
|||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 1647; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.72.165 (0.187 с.) |