Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Д.у. с разделяющимися переменными.
Д.у. с разделяющимися переменными называют такое, что разрешив его относительно получим для нее: Т.к. - переменные разделены Т.е. дифференциалы некоторых функций и и сами функции могут отличаться лишь на постоянную величину, то есть - общий интеграл. Иногда д.у. с разделяющимися переменными может быть в виде: (A) или Пример. Однако переход от общего интеграла к общему решению не всегда возможен. Замечание. При делении на возможна “потеря” решений (как в алгебре). Если имеет действительные решения , то прямые - интегральные кривые д.у. . Последние решения могут входить или не входить в общее решение. Чаще всего они являются особыми. Для уравнений вида (A) интегральными будут прямые , где - корни , и , где корни . В разобранном примере прямые и являются интегральными и получаются из общего решения при С=0. 7.5.2. Однородные д.у. 1-го порядка. Д.у. называется однородным, если, разрешив его относительно , получим функцию, зависящую только от отношения . (B) , которое, заменой переменной преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными: - найдя его общее решение и положив в нем , перейдем к общему решению (B). Пример. , или или Однородные уравнения часто задаются в виде: () или () ! Признак однородности () и (): M и N должны быть однородными функциями одного порядка т.е.: (*) где t – произвольный множитель, k – целое. Положим в (*)
При решении (), () нет необходимости перехода к (В):
Пример. Замечание. Интегральные кривые однородного уравнения (любого) – семейство подобных кривых с центром подобия в начале координат. Чтобы убедиться в этом достаточно заметить, что изоклины (B) образуют пучок прямых, проходящих через О. Пусть (**) - есть корни (**). А это ничто иное как уравнения прямых . Далее, строя приближенные ломанные, убедимся в правильности замечания. Дополнительно к уравнениям с разделяющимися переменными: Уравнения вида с помощью подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
Д.у. 1-го порядка называются линейными, если и входят в это уравнение только в 1-й степени, не перемножаясь друг на друга. Общий вид: Для интегрирования применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Проинтегрируем линейное однородное уравнение:
Решение же неоднородного линейного д.у. будим искать в виде т.е. заменим С на u(x), которую необходимо найти. Т.о. константа заменяется переменной функцией, т.е. варьируется. Найдем и подставим в неоднородное уравнение: после приведения подобных получим: - общее решение неоднородного линейного д.у. 1-го порядка. Пример. найти проходящую через точку !!! Рассмотреть метод подстановки -
7.5.4. Уравнение Бернулли. Уравнение вида , n – любое действительное число. При n=0 – линейное неоднородное, n=1 – линейное однородное. Уравнение Бернулли заменой , где новая неизвестная функция, преобразуется в линейное относительно z.
т.к. всякое линейное д.у. может быть проинтегрировано в квадратурах, то это справедливо и по отношению к д.у. Бернулли. Практически, для интегрирования д.у. Бернулли нет необходимости предварительно преобразовывать его в линейное. Можно применить метод вариации произвольной постоянной, как и для линейного неоднородного.
Пример. , найдем сначала решение д.у. . Его решение . Пусть Где - общее решение - решение задачи Коши, К рассмотренным выше типам д.у. сводятся многие другие с помощью преобразования переменных или перехода к обратной функции. Пример. заменой В общем случае: Пример. сводится к линейному при переходе к обратной функции:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 117; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.49.252 (0.012 с.) |