Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и ее производной. В общем случае линейное уравнение записывается в виде , где коэффициенты a(x), b(x) и правая часть f(x) считается заданными функциями на некотором интервале (α, β). Если f(x) ≡ 0 на интервале (α, β), то заданное линейное уравнение называется однородным в том смысле, что тогда левая часть этого уравнения является однородной функцией относительно переменных y и y'. Будем предполагать, что а(х) ≠ 0 на (α, β) и запишем уравнение в виде где . Рассмотрим однородное линейное уравнение Y’+p(x)Y = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными которое легко интегрируется (1) - общее решение уравнения. Метод вариации произвольной постоянной. Сущность этого метода заключается в том, что постоянную С, входящую в общее решение (1) заменяют функцией от x, т.е. считают (2) и предполагая что (2) есть решение неоднородного уравнения находят С(х), а вместе с тем и общее решение этого уравнения. Имеем Откуда , (3), где С – произвольная постоянная. Подставляя (3) в (2), получим общее решение неоднородного уравнения в виде Метод подстановки. В уравнение положим у = uv, где u – новая неизвестная функция, а v будем рассматривать как вспомогательную переменную и выбирать её по своему усмотрению. В результате указанной подстановки имеем . (4) Выберем v таким образом, чтобы . Откуда , где С – произвольная постоянная. Так как нам достаточно только одного значения v, то будем считать С = 1. Подставляя найденное значение v при C = 1 в уравнение (4) получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно u . Откуда . Зная u и v, можем записать теперь общее решение начального уравнения в виде . 18. Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим систему ДУ: (1), где -постоянные коэффициенты. Будем искать решение по методу Эйлера в виде: (2), где - постоянные, не все равные нулю, которые следует подобрать, если это возможно так, чтобы функции (2) удовлетворяли системе (1). Подставим (2) в (1). После сокращения на , получим: (3). Систему уравнений (3) будем рассматривать как однородную систему -алгебраических уравнений с -неизвестными . Чтобы система (3) имела отличное от нуля решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы равнялся нулю, т.е. (4). Уравнение (4) называется характеристич. уравнением для сист. (1). Уравнение (4) яв-ся алгебраическим уравнением -ой степени относительно . Нетривиальное решение однородной системы (1) существует тогда и только тогда, когда корень характер. ур-ия (4).
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 143; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.198.120 (0.006 с.) |