Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Краевые задачи для эллиптических уравнений.
Рассмотрим ограниченную связную область с граничной поверхностью , охватывающей область . Пусть . В области зададим эллиптическое уравнение 2 порядка с достаточно гладкими коэффициентами: , (1) где .Пусть искомая функция на границе принимает заданные значения, то есть ,где - заданная функция на поверхности Задача Дирихле( первая краевая задача ) в области , (2) ,(3) где – ограниченная область. Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (2) в области и граничному условию (3) на граничной поверхности . Внутренняя задача Дирихле. вобласти , (4) , (5) где – ограниченная область. Решение называется классическим решением задачи (4.19), (4.20). ■ Теорема 1. Если решение задачи Дирихле (4), (5) существует, тогда оно единственно в пространстве Доказательство. Пусть существуют два решения Образуем функцию Очевидно, что выполнены условия: в области , . (6) Так как функция гармоническая в области , то для нее выполнен принцип максимума и минимума. Учитывая (6), получаем , . Следует в , значит ■ Теорема 2. Решение задачи Дирихле (4), (5), в предположении его существования в пространстве , непрерывно зависит от граничных функций . Теорема Шаудера. Пусть в уравнении (1) коэффициенты , граничная поверхность , граничная функция . Пусть выполнено неравенство (2): , тогда существует единственное решение задачи (1), (2) . ■ Из приведённых теорем следует, что в пространствах и задача Дирихле (1), (2) для уравнения Пуассона поставлена корректно. Рассмотрим область \ , внешнюю по отношению к ограниченной области . Для бесконечной области поставим задачу Дирихле для уравнения Пуассона. Наложим условие при . Внешняя задача Дирихле в . в области , (7) ,(8) при (9) Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению (7) в области , граничному условию (8) и равномерно стремится к нулю на бесконечности. Если опустить условие на бесконечности (9), тогда задача может иметь неединственное решение. Для внешней задачи Дирихле на плоскости условие (9) необходимо заменить на условие ограниченности решения в области . Задача Неймана для уравнения Пуассона. Рассмотрим ограниченную область с границей . Для области поставим краевую задачу для уравнения Пуассона, когда на поверхности задана производная функции .
Внутренняя задача Неймана( вторая краевая задача ). в , ,(10) , ,(11) где - внешняя единичная нормаль к поверхности в точке .Требуется найти функцию , которая удовлетворяет уравнению (10) в области и граничному условию (11) на граничной поверхности области . Теорема 3. Пусть функция является решением задачи (10), (11), тогда , (12)- является необходимым условием разрешимости задачи Неймана (10), (11). Доказательство. Воспользуемся первой формулой Грина, рассмотрев в качестве функции решение задачи (10), (11) и положив . В результате Учитывая равенства (10), (11), получаем соотношение (12). ■ Теорема 4. Если существует решение внутренней задачи Неймана (10), (11), тогда оно единственно с точностью до постоянного слагаемого. Внешняя задача Неймана в . в области , (14) , (15) при . (16) Теорема5. Если существует решение внешней задачи Неймана (12)-(14), тогда оно единственно в пространстве .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 257; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.240.58 (0.008 с.) |