VI.1. Свободные колебания в RLC-контуре

Электромагнитными колебаниями называют периодические процессы, при которых происходят взаимосвязанные изменения электрических
параметров (зарядов, токов, напряжений) и превращения энергии электрического и магнитного полей.

Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и резистора сопротивлением R.

 

Рассмотрим колебательный процесс в идеализированном контуре,
сопротивление которого (рис. 6.1, а). Для возбуждения в контуре
колебаний конденсатор предварительно заряжают от внешнего источника. Тогда в начальный момент времени t= 0 между обкладками конденсатора возникает электрическое поле, энергия которого . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток i (рис. 6.1, б). В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки () – возрастать.

Так как , то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура

так как она не рассеивается на нагрев. Поэтому в момент , когда
конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а, следовательно, и ток) достигает
максимального значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать, начнет ослабевать магнитное поле катушки и в ней индуцируется ток, который по правилу Ленца течет в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникает электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который к моменту обращается в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигает максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту времени вернется к первоначальному состоянию. После этого рассмотренный цикл разрядки и зарядки конденсатора будет повторяться,
то есть в контуре совершаются периодические незатухающие колебания
заряда q конденсатора, напряжения на его обкладках и тока, протекающего через катушку.

В идеальном контуре ЭДС самоиндукции, возникающая при изменении тока, равна напряжению на обкладках конденсатора , то есть

Учитывая, что , получаем

(6.1)

Полученное дифференциальное уравнение аналогично рассмотренному в курсе механики уравнению . Таким образом, свободные незатухающие колебания электрического заряда в идеальном контуре
происходят с циклической частотой

(6.2)

а период этих колебаний определяется формулой Томсона

(6.3)

Решением уравнения (6.1) является гармоническая функция

, (6.4)

где – максимальный заряд на обкладках конденсатора.

По гармоническому закону изменяется не только заряд конденсатора,
но и напряжение на его обкладках, и сила тока в контуре:

(6.5)

(6.6)

где – амплитуда напряжения на обкладках конденсатора, – амплитуда силы тока в контуре.

Из выражений (6.4), (6.5) и (6.6) следует, что колебания заряда (напряжения)
и тока в контуре сдвинуты по фазе на , то есть ток достигает максимального значения в те моменты времени, когда заряд (напряжение) на обкладках конденсатора равен нулю, и наоборот (рис. 6.2).

Уравнение (6.1) можно получить,
пользуясь законом сохранения энергии. Найдем производную по времени от
полной энергии колебательного контура:

Учитывая, что и , получим

.

 

Так как в идеальном контуре то и, следовательно,

 

 

В реальном колебательном контуре (рис. 6.3) , поэтому энергия колебаний будет
частично рассеиваться в виде джоулевой
теплоты и амплитуды колебаний электри-ческого заряда, напряжения на обкладках конденсатора и силы тока в контуре со временем уменьшаются. Записав для такого контура уравнение по второму правилу Кирхгофа, получим

 

или

(6.7)

Сравнивая это уравнение с дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний линейной системы

видим, что для электрического колебательного контура коэффициент затухания равен

Решение уравнения (6.7) имеет вид

где

Очевидно, что если , как частный случай получаем циклическую частоту свободных незатухающих колебаний

Разделив зависимость на величину емкости С конденсатора, получим закон изменения во времени напряжения на его обкладках:

Зависимость силы тока в контуре от времени

.

Добротность колебательного контура

 

При увеличении сопротивления R контура коэффициент затухания увеличивается, частота колебаний уменьшается, период возрастает и при обращается в бесконечность. Это означает, что процесс перестает быть периодическим,
колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю. Такой процесс называют апериодическим (рис. 6.4). Сопротивление контура, при
котором вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора, называется критическим.