Хаос и локальная неустойчивость нелинейных стохастических систем

За последние два-три десятилетия понятия " фракталы" и " хаос" наполнились новым содержанием, стали, по сути, фундаментальными понятиями, которые используются в исследованиях научного и прикладного характера по многим направлениям.

Наиболее сильным видом неустойчивости, который возможен даже при финитном движении системы, является локальная неустойчивость. Именно благодаря этой неустойчивости возникают динамическая стохастичность и хаос. Поясним, что такое "локальная неустойчивость".

Обозначим через расстояние между двумя точками в фазовом пространстве (см. рис. 1а), принадлежащими разным траекториям в момент времени . Тогда локальная неустойчивость проявится в том, что существует такое направление, вдоль которого расстояние между траекториями растет экспоненциально со временем: .

 

Рис. 1. а) Локальная неустойчивость. б) Более сильная локальная неустойчивость.

без запутывания траек- Запутывание фазовых траекторий - это

торий. следствие выполнения закона "сохранения

площади фазовой капли во времени".

 

Рис. 2. Степень усложнения "фазовой капли" (фрактального объекта) со временем

а) Первоначальный фазовый б) Фазовый портрет "капли" через некоторое время.

портрет "капли".

 

Обращает на себя внимание выполнение "закона сохранения площади фазовой капли" (для эргодических систем) – заштрихованные области на обоих рисунках имеют одинаковые площади. Инкремент неустойчивости является функцией точки в фазовом пространстве . Мы свяжем его с функцией хаоса [12] через отношение: , где . Тогда выражение инкремента неустойчивости примет вид: .

Свойство системы, которое выражено приведенным выше уравнением, может проявляться для всех начальных условий. Однако локальная неустойчивость системы означает, что существует область конечной меры, - такая, что если выбрать в ней любую из точек в качестве начальной, то малое возмущение ее приведет к сильному расхождению соответствующих траекторий. Если движение финитно, то изначально близкие траектории не могут разойтись дальше, чем на размер области движения. В результате происходит сильное запутывание. Фазовая линия правильной формы через короткое время принимает сильно изрезанную форму (см. рис.2). Степень усложнения "фазовой капли" (фрактального объекта) растет со временем (см. рис. 2а и 2б) и может быть оценена по так называемым эффектам перемешивания и перколяции[13].