Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Z=a+b A=(a,b)

|Z|=r=

Z=r(cos +sin )

 

ArgZ=h –аргумент комплексного числа

-

|Z|=

=cos +sin формула Эйлера

z показатель формулы комплексного числа

 

тригонометрической формой комплексного числа.

Пример:

Z=4+3i

X=4 y=3 >0. 2 четверть

|Z|=sqrt(4*4+3*3)=sqrt25=5

Tga=y/x=3/4

a=arctg(3/4)+ПК

argZ=arctg(3/4)

Z=5*(cos(arctg(3/4))+isin(arctg(3/4))) –тригонометрическая форма.

Z=5*e*arctg(3/4) – показательная форма.

Действия

1) Умножение

2) Деление

3)Введение в степень +isin(xa))

- формула Муавра

4) извлечение корня из n степени

 

Корень n-ой степени из комплексного числа. Логарифм и степень комплексного числа.

 

 

=|Z|*(

 

=

Sin(x+2пк)=sinx

=

Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

• 
• 
• 

Правило Крамера. Решение линейных систем алгебраических уравнений.

Если DetA не равен 0, то слау при условии n=m имеет единственное решение.

X=DetA/Detb

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

Пример.

 

A = ; D₁= ; D₂= ; D₃= ;

 

x₁ = D₁/detA; x₂ = D₂/detA; x₃ = D₃/detA;

 

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Общие понятия. Теорема Кронекера-Капелли.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

, (1)

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Ax=B

 

Решением слау называется упорядоченный набор чисел х1 х2 х3 при постановке которых в уравнение системы каждый из этих выражений обращается в тождество

 

Теорема Кронекера-Капелли:

Неоднородная слау была совместна, необходима и достаточная, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы этой систему.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теоремы о существовании решений. Структура общего решения.

 

Слау называется однородной если В1=В2=Вм=0 Ax=0

Слау называется не однородной если В1, B2, …, Bm не равно 0.

 

 

Свойства однородной системы

1* любая однородная слау совместна, имеет решение X1=0 X2=0 Xn=0

2* любая линейная комбинация решений однородной слау является решение этой системы

3* однородная слау имеет не нулевое решение тогда и только тогда когда ранг матрицы её коэффициента меньше количества её неизвестных

4* однородная слау имеет только нулевое решение когда ранг коэффициента равен количеству не известных этой системы.