Определение определенного интеграла

Пусть в нашем распоряжении есть функция , определенная на отрезке .

1. Разобьем отрезок на n произвольных частей точками .
2. В каждом из отрезков выберем произвольную точку _и вычислим значение функции в ней, т.е.величину
3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего отрезка и получим величину .
4. Составим сумму S_n всех таких произведений .Сумма подобного вида называется интегральной суммой функции на отрезке .
5. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка .
6. Найдем предел интегральной суммы при условии так, что .

Если при этом интегральная сумма S_n имеет предел равный J, который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число J называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается . Таким образом, . Числа и b называются нижними и верхними пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, - областью интегрирования. Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом участке.

Теор. Коши. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.

Непрерывность функции является достаточным условием ее интегрируемости. Однако, неопределенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

 

2) Геометрический смысл определенного интеграла

Рис. 1

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Нарисуем график этой функции. Фигура ограниченная сверху графиком функции , снизу осью ox, сбоку линиями x=a и x=b называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезок разделим точками на n частей и т.д. повторяя то, что мы делали выше, получим - будет равна площади ступенчатой фигуры и приближено площади криволинейной трапеции

С уменьшением всех величин точность приближения S криволинейной трапеции к S прямоугольной увеличивается. Точность записанного выше соотношения возрастает. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда так, что , .

, то есть .

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси OX и имеющей переменную величину . Найдем работу по перемещению точки М на . . Для определения приближенного значения работы на всем участке , нам надо произвести суммирование на всем отрезке.

.

Точность этого равенства возрастает с уменьшением и увеличением n. Поэтому за точное значение работы принимается предел этой суммы

.

Формулы Ньютона-Лейбница

Пусть - функция, интегрируемая на .

Теорема: Если - непрерывна на отрезке и ее первообразная на отрезке ( = ), то имеет место соотношение .

Доказательство:

Для этого отрезок разделим точками на n отрезков. Введем средние точки для каждого из отрезков . Рассмотрим соотношение .

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа .

Получим: ,

т.е. . Т.к. непрерывна на , то она интегрируема на , поэтому перейдя к пределу при . Получим:

.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет получить удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл от неправильной функции на отрезке надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример:

.