Главные напряжения, главные площадки

 

На наклонной площадке, у которой орт нормали совпадает с направлением , величина , а будет экстремально и равно . Такая площадка называется главной (ее направление определяют направляющие косинусы, которые обозначим ). А напряжения на ней обозначим . Все его проекции на оси будут . Подставим их в формулы (11.1):

или (4)

Надо найти и при известных напряжениях в точке тела .

Очевидно, что

. (5)

Из этого следует, что одновременно не могут быть равны нулю. Тогда система уравнений (4) имеет решение, если ее определитель

. (6)

Раскрывая этот определитель, получим, с учетом закона парности касательных напряжений:

(7)

(8)

После перемножений и приведения подобных членов найдем

. (11.5)

Где:

. (11.6)

Величины и называются инвариантами тензора напряжений (легко убедится, что есть определитель ). При повороте осей компоненты меняются, но и при этом не должны меняться, т.к. , определяемые из (11.5), не зависят от выбора положения осей , а зависят от нагружения тела.

Решение кубического уравнения (11.5) дает три корня для , которые и называются главными напряжениями. Итак, имеем три главных напряжения, которые действуют на трех главных площадках, определяемых . Например, найдем главной площадки, где действует . Для этого составим три уравнения: и любые два уравнения из системы (4), подставляя в них . Решая эти три уравнения, найдем . Аналогично определяются две другие площадки, где действуют и . Можно показать, что главные площадки взаимно ортогональны.

Инварианты напряженного состояния через главные напряжения определяются с учетом (11.6) так:

Здесь учтено, что на главных площадках нет касательных напряжений.

 

 

Экстремальные касательные напряжения

 

Вырежем из тела малый тетраэдр, у которого координатные оси совпадают с направлениями главных напряжений, т.е. на невидимых площадках действуют только и (см. рис. 11.1). Найдем касательное напряжение на наклонной площадке с ортом .

Полное напряжение на ней и нормальное получим из зависимостей (11.2) и (11.3), полагая в них: , , т.к. на главных площадках касательных напряжений нет:

(9)

Касательные напряжения на наклонной площадке найдем по (11.4), подстановкой (9):

.

После преобразований получим

(10)

Условие экстремальности по параметрам и дает три решения, которые определяют три площадки с экстремальными :

Третьему решению соот-ветствуют рис.11.2, т.е. это площадка под углами 45° к осям с и и проходящая через ось 3. Подставляя и в выражение (10), получим

Рис.11.2

.

Окончательно

. (11)

Аналогично, на площадках с решениями 1) и 2) можно найти экстремальные и .

Итак, имеем три площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения:

. (11.7)