Дифракция Френеля на круглом отверстии

Рис.2

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника монохроматического света S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием, диаметр которого d=BC. Пусть Ф - фронт волны, который является частью поверхности сферы. Разобьем поверхность фронта на зоны Френеля (см. рис.2) так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения М в противофазе. Тогда амплитуда результирующей волны в точке М

А=А₁-А₂+А₃-А₄+- А_m, (1)

где А_i - амплитуда волны, пришедшей от i -ой зоны Френеля. Перед А_m берется знак плюс, если m - нечетное, и минус, если m - четное.

Величина А_i зависит от площади  _i i -той зоны и угла  _i между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо точке и прямой, направленной из этой точки в точку М (см. рис.2, где в частности показан угол  ₃).

Можно показать, что все зоны Френеля примерно равновелики по площади. Увеличение же угла  _i с ростом номера зоны приводит к уменьшению амплитуды А _i. Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом, А₁>А₂>-> A_m. При большом числе зон можно приближенно считать, что А_i=(A_i-1+A_i+1)/ 2. (2)

Перепишем теперь (1) в виде

(3)

так как согласно (2) все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Можно показать, что общее число m зон Френеля, обращенное к точке М,

, (4)

где d=BC - диаметр отверстия, R=SO, L=OM (см. рис.2), - длина волны.

Если d =1 см, R = L =10 см и =500 нм, то m= 1000.

В этом случае А_m<<A₁ и слагаемым А_m/ 2 в (3) можно пренебречь. Тогда согласно (3)

А=А₁ /2. (5)

Таким образом, амплитуда результирующей волны в точке М определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля. Ее диаметр d, как следует из (4) при m =1, R=L =10 см и =500 нм, равен 0,32 мм.

Следовательно, распространение света от S к М происходит так, будто пучок света распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно.

В этом случае круговое пятно диаметром ED (см. рис.2) равномерно освещено и вне его наблюдается тень. Следовательно, дифракционная картина отсутствует, когда диаметр отверстия BC =d>>.

При уменьшении диаметра отверстия до величины d 1 мм число зон согласно (4) уменьшается и А_m становится сравнимым с А_1, и поэтому пренебречь слагаемым А_m/2 в (3) нельзя.

При нечетном числе зон согласно (3)

А=А₁/ 2 + А_m/ 2(6)

и в точке М наблюдается максимум (светлое пятно).

При четном числе зон

А=А₁/ 2 - А_m/ 2 (7)

и в точке М будет наблюдаться минимум (темное пятно). Этот факт особенно наглядно противоречит закону прямолинейного распространения света.

Очевидно, что максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение А_m к А₁, т.е. когда число зон m мало (m 10). Расчет амплитуды в других точках экрана более сложен. Можно показать, что дифракционная картина вблизи точки М имеет вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке М. По мере удаления от точки М интенсивность максимумов света убывает.

Если на пути световой волны в плоскости отверстия поставить зонную пластинку, которая перекрывала бы все четные зоны, то А=А₁+А₃+А₅+- и интенсивность I=A² в точке М резко возрастает. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные зоны, а изменяя фазу их колебаний на , тогда А=А₁+А₂+А₃+- Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой, и использование ее позволяет получить дополнительное увеличение интенсивности в 4 раза.

Опыт подтверждает эти выводы: зонная пластинка увеличивает интенсивность в точке М, действуя подобно собирающей линзе.