Метод центрального проецирования

Начертательная геометрия

 

Конспект лекций для студентов специальности 190701

«Организация перевозок и управление на транспорте (ж. д. транспорт)»

дневной и заочной форм обучения

 

 

Самара 2005

 

 

УДК 514.18

А72

 

Рецензент

 

Доктор технических наук, профессор кафедры

«Строительные и дорожные машины и технология машиностроения» СамГАПС

 

В.М. Морогов

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Самарской государственной академии путей сообщения

 

 

А72 Антипов, В.А. Начертательная геометрия: Курс лекций [Текст]. – Самара: СамГАПС, 2005. – 64 с.

 

 

Настоящее издание предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия». Конспект лекций имеет своей целью помочь студенту в освоении теоретических основ начертательной геометрии.

Изложение разделов курса построено по принципу «от простого к сложному».

Все разделы иллюстрированы чертежами и наглядными рисунками, что призвано облегчить восприятие студентами приведенного материала.

С помощью настоящего пособия студент сможет получить необходимый минимум знаний по указанному курсу, достаточный для использования при решении практических задач.

 

 

Под редакцией доктора технических наук,

профессора кафедры «Инженерная графика»

Самарской государственной академии путей сообщения

О.П. Мулюкина

 

 

©СамГАПС, 2005

©Антипов В.А., 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

В любой отрасли промышленности для изготовления отдельных деталей и составных частей машин создаются их геометрические (идеальные) образы, которые называются чертежами. Под чертежами понимают плоское изображение идеальных геометрических очертаний и размеров технического объекта, выполненное таким образом, чтобы можно было представить его объёмные формы.

В связи с этим у будущего инженера важно выработать и развить пространственное (объемное) «видение» плоского изображения. Это позволяет не только правильно читать и понимать плоские чертежи, но и, используя целый ряд правил и положений, грамотно их выполнять.

Все эти вопросы рассматриваются студентами вузов при изучении первой общепрофессиональной дисциплины «Инженерная графика».

Важнейшей составной частью ее является курс начертательной геометрии, который в силу его большой значимости во многих образовательных стандартах выделен в отдельную дисциплину. Изучение этого курса преследует следующие основные цели:

· ознакомить студента с различными методами проецирования предмета на плоскость для получения какого-либо изображения;

· развить пространственное представление об объёмных формах технических объектов и их составляющих частей по изображению этих объектов на плоскостях;

· сформировать и закрепить в сознании человека систему правил для решения графическими методами технических задач проектирования;

· выработать у студента предварительные навыки составления чертежей технических объектов и умение чтения чертежей.

В отличие от других изданий лекционный курс минимизирован до объема, предусмотренного рабочей программой по начертательной геометрии для студентов специальности 190701 и достаточного для практических занятий, самостоятельной работы студента, выполнения графических заданий по курсу.

Рекомендуется для студентов родственных специальностей, изучающих курс начертательной геометрии и обучаемых в вузах министерства транспорта Российской Федерации.

 

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

При изучении курса приняты следующие обозначения:

1.1 Плоскости проекций: горизонтальная — П₁; фронтальная — П₂; профильная — П₃; дополнительная — П₄, П₅...аксонометрическая — П'.

1.2 Точки: А, В, С, Д... или 1,2, 3,4...

1.3 Проекции точек на плоскость: П₁— А₁,В₁,С₁,Д₁... или 1₁,2_1, 3,₁,4_1; П₂ — А₂,В₂,С₂,Д₂... или 1₂,2_2, 3,₂,4_2; П₃ — А₃,В₃,С₃,Д₃... или 1₃,2_3, 3,₃,4_3; П' — А`,В`,С`,Д`... или 1`,2`_, 3`,4`

1.4 Точки на развертках: А₀, В₀, С_о, Д₀- - - или 1₀, 2₀, З₀, 4₀...

1.5 Последовательный ряд точек: ...

1.6 Линии: a,b,c,d...

1.7 Проекции линий на плоскость:

П₁— a₁,b₁,c₁,d₁...

П₂ — a₂,b₂,c₂,d₂...

П₃ — a₃,b₃,c₃,d₃...

1.8 Линии уровня:

горизонтальная (горизонталь) — h;

фронтальная (фронталь) — f;

профильная —р.

1.9 Координатные оси проекций:

абсцисс — x;

ординат — y;

аппликат — z.

1.10 Новые оси абсцисс, полученные при замене плоскостей проекций: х₁,x₂...

1.11 Аксонометрические оси координат: x`,y`,z`.

1.12 Последовательный ряд линий: ...

1.13 Прямая, проходящая через точки А и В: АВ.

1.14 Плоскости (поверхности): ….

 

ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

 

Плоский чертеж какого-либо технического объекта может состоять из нескольких изображений, по которым и создается представление об объемных формах геометрического тела. Такие плоские изображения называются проекциями рассматриваемого объекта.

Под проекцией любой точки понимают ее как бы «теневое» отображение на какой-либо плоскости. Так, если поместить материальную точку 1 между источниками света (световых лучей) 2 и какой-либо плоскостью 3 (рис. 2.1), то на этой плоскости увидим тень 4 этой точки, которую и принято называть проекцией точки.

Рис. 2.1

Взаимное положение источника света и плоскости может быть произвольным. В зависимости от величины угла между лучом 2-1-4 и плоскостью 3 возможны два принципиально отличных варианта проекций точки:

·значение угла не равно 90°, тогда проекция точки называется косоугольной;

·значение угла равно 90° (прямой угол), тогда проекция называется прямоугольной, или ортогональной (от греч. orthogonios - прямо­ угольный).

Курс начертательной геометрии рассматривает два основных метода проецирования: центральный и параллельный.

Рис. 2.2

Рис. 2.3

 

 

Решения инженерных задач

 

Наибольшее практическое применение нашёл метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых расположена горизонтально, а другая - вертикально. Они соответственно получили обозначения: горизонтальная плоскость проекций – П₁, и фронтальная — П₂. Эти плоскости пересекаются между собой под прямым углом, образуя линию пересечения — ось х, и делят пространство на четыре четверти, которые принято обозначать против хода часовой стрелки римскими цифрами I, II, III и IV (рис. 2.4). В случае недостаточной информативности об объекте по двум проекциям на указанные плоскости П₁ и П₂ используют третью плоскость П₃, перпендикулярную одновременно П₁ и П₂. Она называется профильной плоскостью проекций. Плоскость Пзпересекается с плоскостью П₁образуя ось у, и с плоскостью П₂, образуя ось z. Указанные плоскости делят всё пространство вокруг уже на восемь частей, которые называются октантами и обозначаются римскими цифрами от I до VIII.

 

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ

 

Точки плоскостям проекций

 

Например, точка А принадлежит:

- горизонтальной плоскости проекций П₁если , а А₂ оси х и A₃ y;

- фронтальной плоскости проекций П₂, если , а А₁ оси х и A₃ z;

- профильной плоскости проекций П_3, если , а А₁ оси yи A₂ оси z;

 

Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают в пространстве. Так, точка А лежит на оси х, если А₁ совпадает с А₂; на оси у, если A₂ совпадает с А₃, и оси z, если А₂ совпадает с А₃.

 

Задание прямой в пространстве

 

Любая прямая в пространстве может быть задана:

· двумя точками, принадлежащими этой прямой;

· одной точкой, принадлежащей данной прямой, и ее направлени­ем.

В первом случае задаются координаты двух заданных точек, во втором — координаты одной точки и направление прямой.

Следы прямой

 

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Горизонтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 4.5). Горизонтальный след обозначают буквой Н. При этом координата z точки Н равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтального следа прямой на ней определяют точку Н с нулевой координатой z (рис. 4.5).

Фронтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекции (рис. 4.5). Обозначают фронтальный след буквой F. Координата у точки F равна нулю. Следовательно, для нахождения фронтального следа F прямой на ней определяют точку, имеющую нулевую координату у.

Профильным следом прямой называют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след буквой Р. Координата х точки Р равна нулю.

Пересекая плоскости проекции, прямая переходит из одной четверти пространства в другую. Линия общего положения может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая линия — через две четверти.

 

4.4 Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
к плоскостям проекции

 

Отрезок прямой, параллельной какой-либо плоскости проекции, проецируется на данную плоскость без искажения (в натуральную величину) (рис. 4.6).

Так, отрезок АВ параллелен плоскости П₁(рис. 4.6, а), следовательно, длина отрезка равна его горизонтальной проекции A₁ B₁. Угол между осью х и горизонтальной проекцией отрезка определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П₂.

 

Отрезок CD параллелен плоскости П₂(рис. 4.6, б), следовательно, длина отрезка равна его фронтальной проекции C₂D₂.Угол α опреде­ляет угол наклона отрезка CD к плоскости П₁.

Отрезок EFпараллелен плоскости Пз(рис. 4.6, в), следовательно, длина отрезка равна его профильной проекции E₃F₃.Углы наклона отрезка к плоскостям П₁и П₂ определяют соответственно углы и .

Если отрезок не параллелен плоскостям проекции, то для определения натуральной величины его и угла наклона к плоскости проекции необходимо выполнить дополнительные построения: построить вспомогательный прямоугольный треугольник, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость П₁или П₂, а другой - разности удалений концов отрезка от той плоскости, на которой строится тре­угольник (рис. 4.7).

 

Один катет вспомогательного треугольника равен горизонтальной проекции отрезка A₁ B₁а другой – В₁ B₀ - разности координат z концов отрезка (точек А и В). Гипотенуза А₁В₀определяет действительную длину отрезка АВ. Угол при вершине A₁ определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П_1.

Теорема о проецировании прямого угла. Для того чтобы прямой угол проецировался в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к ней (рис. 4.10).

 

ПЛОСКОСТЬ

 

Задание плоскости

 

Плоскость в пространстве можно задать:

·тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);

·прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);

·двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);

·двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);

·любой плоской фигурой (рис. 5.1, (3).

 

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости определяется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П₁,П₂, П₃.Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).

 

 

Следы плоскости

 

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П₁, П₂, П₃)называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости — прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересечении заданной плоскости с плоскостью П₁ и обозначается , фронтальный — с плоскостью П₂ ( ), профильный — с плоскостью П₃(). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости (рис. 5.2) совпадает со своей горизонтальной проекцией , фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о положении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П₁, П₂,П₃.

 

Плоскостей проекций

 

Любая, произвольно взятая в пространстве, плоскость может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рис. 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П₁ (рис. 5.3).

 

 

Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом ₁. Угол , который образуется между плоскостями и П₂, проецируется на П₁ без искажения. Фронтальный след ₂ перпендикулярен к оси x. Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П₂ (рис. 5.4).

Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости ₂. Угол , который образуется между заданной плоскостью и П₁, проецируется на П₂ без искажения. Горизонтальный след плоскости ₁ перпендикулярен к оси x.

Профильно-проецирующая плоскость Т (T₁, T₂) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П₃ (рис. 5.5).

 

Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т₃.

 

 

Углы и , которые образуются между заданной плоскостью и плоскостями проекций П₁ П₂( = T^П₁; = Т^{^}П₂ ), проецируются на плоскость П₃без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рис. 5.6).

Следы этой плоскости ₁ = ₂ совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рис. 5.6). В частном случае эта плоскость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П₁ П₂.

 

Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная одновременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей три разновидности (рис. 5.7):

· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П₂, П₃ и параллельна П₁(рис. 5.7, а);

· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П_{1 ,} П₃ и параллельна П₂(рис. 5.7, б);

· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П_{1 ,} П₂ и параллельна П₃(рис. 5.7, в).

 

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.

 

К плоскостям проекций

 

Плоскость общего положения, расположенная в пространстве
произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо
плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П₁ - линия ската, к П₂ - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П₂.

Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленное данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10).

 

 

Прямой линии и плоскости

 

Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения:

·прямая линия параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);

·прямая линия пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).

Иногда на чертеже нельзя непосредственно установить положение прямой линии т и плоскости (рис. 7.1).

В этом случае прибегают к некоторым вспомогательным построениям. В результате данных построений от вопроса о взаимном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении двух прямых линий. В задачах этого типа используют метод вспомогательной плоскости. Заключается он в следующем:

- через данную прямую т проводят вспомогательную плоскость . Подбор вспомогательной плоскости производится таким образом, чтобы решение задачи было наиболее простым;

· строят линию пересечения плоскостей - заданной и вспомогательной .;

· устанавливают взаимное положение прямой т и линии пересечения плоскостей п.

При этом возможны следующие случаи:

· прямая т параллельна прямой п, следовательно, прямая т параллельна плоскости ;

· прямая т пересекает прямую п, следовательно, прямая т пересекает плоскость .

 

 

Основные положения

 

Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость и перпендикулярная к ней прямая п.

Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости , т.е. . Каждый такой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоторого угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости h проецируется на горизонтальную плос­кость проекций прямым углом, так как его сторона h||П₁.

Если , то .

Угол между прямой п и фронталью плоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона || П₂).

Если , то .

 

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости.

.

На рисунке 8.2 через точку N проведена прямая n, перпендикулярная к плоскости . Для этого в плоскости (а^b) определены горизонталь h и фронталь , и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: .

В том случае, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра располагаются перпендикулярно к одноименным следам плоскости: .

Рисунок 8.2 позволяет утверждать, что изображенные на нем прямая n и плоскость взаимно перпендикулярны. Действительно, из чертежа следует, что прямая n перпендикулярна к прямой h, так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h) параллельна плоскости П₁. Точно так же прямая n перпендикулярна к прямой . Но если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

 

Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют с помощью пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а - условие, 6 - решение) через данную точку А проведена плоскость , перпенди­кулярная к заданной прямой п. Горизонталь h плоскости проходит через точку А ( ). Фронталь этой плоскости может быть также проведена через точку А, но может пересекать горизонталь и в любой другой точке, поскольку все они находятся в искомой плоскости. На рисунке 8.4 фронталь f₂ проходит через точку В .

 

 

На рисунке 8.5 показана прямая, перпендикулярная к горизонтально проецирующей плоскости. Очевидно, эта линия является горизонталью.

На рисунке 8.6 изображена прямая, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Она является фронталью.

На рисунке 8.7 изображена прямая п (MN), перпендикулярная к профильно проецирующей плоскости . Заметим, что, проведя проек­ции и мы еще не определим величину искомого пер­пендикуляра.

Это не должно нас удивлять, так как , а перпендикулярность прямой и плоскости обеспечивается перпендикулярностью этой прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи нужно построить профильный след. Тогда .

Если требуется определить, перпендикулярна ли некоторая прямая т к заданной плоскости , то через какую-нибудь точку М этой прямой следует провести перпендикуляр n к плоскости (рис. 8.8).

При совпадении линии m и n прямая m перпендикулярна к плоскости .

 

Примеры решения задач

 

8.2.1 Задание: опустить перпендикуляр из точки А на плоскость () и найти его основание точку В.

Решение: исходя из принципа перпендикулярности прямой и плоскости (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости), необходимо в плоскости провести две пересекающиеся прямые, а именно горизонталь h и фронталь (рис. 8.9).

 

Затем из точки А проводим нормаль n к плоскости . На основании теоремы о проецировании прямого угла и . Если плоскость задана следами, то и (рис. 8.10). Основание перпендикуляра определяется как точка пересечения его с плоско­стью. Для этого нужно провести через нормаль проецирующую плоскость , найти линию пересечения l(l₁,l₂)плоскостей и и на пересечении этой линии и нормали отметить общую точку В для нормали и плоскости ().

 

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

Замена плоскостей проекций

 

Суть метода заключается в том, что одна из плоскостей проекций заменяется на новую плоскость проекций, при этом последнюю проводят перпендикулярно к незаменяемой плоскости. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет такой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости.

Например, если заменить фронтальную плоскость проекций П₂на новую плоскость П₄(рис. 9.1, а), то последняя должна быть перпендикулярна к плоскости П₁ а расстояние от проекции точки А₄ до оси x₁ будет равно расстоянию от проекции точки А₂ до оси х. Новая ось проекции х₁ проводится так, как этого требует решение задачи. В рассматриваемом случае она проведена произвольно.

 

При замене горизонтальной плоскости П₁на новую плоскость П₅(рис. 9.1, б) сохраняется неизменная координата.);.

При решении конкретной задачи таких замен может быть выполнено последовательно несколько. Главные условия этих действий — сохранение ортогонального проецирования в новой системе проекций и величин соответствующих координат.

Пусть дана прямая общего положения АВ (рис. 9.2). Необходимо преобразовать чертеж отрезка АВ таким образом, чтобы прямая стала проецирующей, т.е спроецировалась на одну из плоскостей проекции в точку. Такое преобразование с заменой плоскостей выполняется в два этапа.

 

На первом этапе новую плоскость, например П₄, вводят взамен фронтальной плоскости П₂,параллельно прямой АВ.Новую ось проекций x₁ проводят параллельно горизонтальной проекции прямой A₁B₁.Далее проводят от горизонтальной проекции линии связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них откладывают координаты z, т.е. расстояние от оси проекций до фронтальных проекций точек. Новая проекция А₄В₄будет определять натуральную длину отрезка АВ.Одновременно определяется угол наклона прямой к плоскости проекций, в рассматриваемом примере к горизонтальной плоскости П₁ – угол . При замене горизонтальной плоскости проекции П₁на новую угол наклона прямой АВ к плоскости П₂ - .

На втором этапе в системе плоскостей П₁/П₄плоскость проекций П₁заменяют на П₅.При этом ось х₂ проводят перпендикулярно к проекции А₄В₄.В новой системе плоскостей проекций П₄/П₅прямая заняла проецирующее положение, т.е. она стала перпендикулярна к плоскости П₅, и на нее прямая спроецировалась в точку, а концы отрезка АВсовпали на проекции А₅ В₅.

Метод применяется для определения расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, величины двугранного угла, натуральной величины плоской фигуры и различных ее параметров.

В том случае, если прямые являются прямыми уровня, т.е. параллельны одной из плоскостей проекций, первый этап решения опуска­ется и преобразование начинается со второго этапа.

 

Метод совмещения плоскостей

 

Этот метод является частным случаем метода вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается линия пересечения плоскости, в которой лежит та или иная фигура, с одной из плоскостей проекций. Иначе говоря, осью вращения служит горизонтальный или фронтальный след плоскости. При этом каждая точка, принадлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость , заданную своими следами и , необходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций П₁ (рис. 9.7).

Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе плоскости произвольную точку 1₂ и находят ее горизонтальную проекцию 1₁, которая лежит на оси х. Далее из точки 1₁проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости (любая точка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендикулярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точки 1 — точку 1₀, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом . Точка 1₀ принадлежит одновременно и плоскости П₁ и новому (совмещенному) положению плоскости . Через точку 1₀ проводят новый фронтальный след ₀ плоскости . Следы ₁ и ₀ характеризуют новое (совмещенное) положение плоскости .

 

Примеры решения задач

 

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.

 

9.6.1 Задание: определить натуральную величину треугольника общего положения ABC,заданного проекциями вершин A₁ B₁ C₁и А₂ В₂ С₂ (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к П_1.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет в пространстве параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC,перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A₁B₁C₁ проводят ось x₁новой системы плоскостей проекций П₁ / П₄перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h₁. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П₄.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П₁/П₂.При соединении новых проекций А₄, B ₄, С₄ получают прямую линию, в которую спроецировалась плоскость треугольника ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П₁ - угол . На чертеже это угол между осью x₁ и проекцией С₄А₄В₄.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П₅,параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x₂ проводят параллельно С₄А₄В₄на произвольном расстоянии. Пол