Послідовність незалежних випробувань. Формули Бернуллі, Лапласа, Пуассона

 

Нехай проводиться серія з n незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події А од­на й та ж і рівна р (ймовірність непояви події А у ви­пробу­ванні q = 1 – p). Тоді ймовірність Р_n (m) того, що подія А з¢явиться у цих n випробуваннях m разів (0 ≤ m ≤ n) обчислюється за формулою Бернуллі

(4.1)

Ймовірність Р_n (m ₁, m ₂) того, що в серії з n випробувань подія А відбудеться не менше m ₁ і не більше m ₂ разів (0 ≤ m ₁ ≤ m ₂ ≤ n) обчислюється за формулою

Р_n (m ₁, m ₂) = . (4.2)

При великих значеннях n користуватись формулою Бернуллі для обчислення ймовірності Р_n (m) досить складно, оскільки потрібно виконувати великий об’єм обчислень. Якщо число випробувань n велике, а ймовірність р не мала (np ≥ 9), для обчислення ймовірності Р_n (m) користуються наближеною (тим точнішою, чим більше число n) локальною формулою Лапласа

(4.3)

де

В цих же випадках для обчислення ймовірності Р_n (m ₁ , m ₂) використовують інтегральну формулу Лапласа

P_n (m ₁, m ₂) ≈ Ф(х ₂) – Ф(х ₁), (4.4)

 

де

, ,

 

Значення функцій φ(х) (функція Гаусса) та Ф(х) (функція Лапласа) знаходять за таблицями (див. Додатки 1,2), враховуючи при цьому парність функції φ(х) та непарність функції Ф(х). Крім того, вважається, що при х ³ 4 φ(х)=0, а при х ³ 5 Ф(х)=0,5.

У випадку, коли число випробувань n велике, а ймовірність р мала (nр < 9), за­стосування формул Лапласа (4.3) – (4.4) приводить до значних похибок. В та­ких випадках для обчи­слення ймовірності Р_n (m) застосовують асимптотичну формулу Пуассона

, (4.5)

де l = np ‑ параметр формули Пуассона. Ймовірність Р_n (m ₁ , m ₂), як і раніше, обчислюють за формулою (4.2).

Формула Пуассона (4.5) використовуєть­ся також і для підрахунку ймовірності появи різного числа по­дій (на­приклад, точок або інших елементів) в якій-небудь об­ласті (плоскій, просторовій, за певний проміжок часу і т.і.). При розв’язанні задач з використанням формули Пуассона почат­кові дані можуть зустріча­тись у двох варіантах:

1) в умові задачі вказується ймовірність р появи події в од­ному ви­пробуванні і число випробувань n;

2) в умові задачі вказується середнє число l₁ появ події в якій-небудь одиниці області (площі, об’єму, часу і т.і.) і розмір s області (площі, об’єму, часу), всередині якої з’являються події, що нас цікавлять.

У першому випадку параметр формули Пуассона знаходиться за формулою l = np. У другому випадку цей параметр обчислюють за формулою l = l₁· s. Подальші розрахунки ймовірності за фор­мулою Пуассона проводяться однаково для обох випадків.

Ймовірність того, що відхи­лення відносної частоти появи події А в n незалежних випробуваннях від імовірності р = Р (А) появи цієї події в одному випробуванні за абсолютною величиною не перевищить заданого числа ε > 0, обчислюється за формулою

. (4.6)

 

Найбільш імовірне число m ₀ появ події А в n незалеж­них випробуваннях визначається з подвійної нерівності

np – q ≤ m ₀ ≤ np + p. (4.7)

Кількість дослідів N, які потрібно провести, щоб з імовірністю P можна було стверджувати, що подія А відбудеться хоч один раз, знаходять з умови

(4.8)

 

Опитування з теорії

1. Яка послідовність випробувань називається послідовністю незалежних випробувань (схемою Бернуллі)?

2. Сформулювати дві основні задачі, пов¢язані зі схемою Бернуллі.

3. Записати формулу Бернуллі.

4. Сформулювати локальну теорему Лапласа і вказати умови її застосування.

5. Сформулювати інтегральну теорему Лапласа і вказати умови її застосування.

6. Сформулювати граничну теорему Пуассона і вказати умови її застосування.

7. Як знайти найбільш імовірне числопояв події в n незалеж­них випробуваннях?

8. Як знайти кількість дослідів N, які потрібно провести, щоб з імовірністю P можна було стверджувати, що дана подія відбудеться хоч один раз?

 

Задача 1. Прилад складається з 5-ти елементів. Елементи однаково надійні, працюють і виходять з ладу незалежно один від одного. Ймовір­ність відмови елемента за час Т дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що за час Т: а) відмовить один елемент; б)відмовить хоч один елемент; в) відмовить не більше двох елементів.

Розв”язання. Нехай подія А = ²відмова елемента за час Т². Тоді p = P (A)=0,2, q =1- p= 0,8. Ймовірність p = P (A) події А однакова для всіх п”яти елементів, вихід з ладу кожного з них не залежить від того, працюють чи ні інші елементи. Тому можна застосувати формулу Бернуллі.

а) Маємо n = 5, m = 1. За формулою Бернуллі

б) Подія В = ²за час Т відмовить хоч один елемент ² відбувається тоді, коли за цей час відмовить або один, або два, …, або всі 5 елементів. Отже, потрібно знайти ймовірність P_n (m ₁, m ₂) при n = 5, m ₁ = 1, m ₂ = 5, тобто ймовірність Р (В) = P₅ (1; 5).

Замість того, щоб застосовувати формулу (4.2), врахуємо наступне. Протилежною для події В буде подія ²за час Т не відмовить жоден з п¢яти елементів ². Тому

Р (В) = 1 – Р () = 1 – Р ₅ (0) = 1 - = 1– 0,8⁵ » 1– 0,33=0,67.

в) Подія С = ²за час Т відмовить не більше двох елементів ² відбувається тоді, коли за цей часвідмовить або один, або два елементи, або не відмовить жоден з п¢яти елементів. Отже,

Р (С) = P₅ (0; 2) = Р ₅ (0) + Р ₅ (1) + Р ₅ (2).

Оскільки

Р ₅ (2) = 10×0,02048» 0,2,

то, враховуючи п.п. а), б), маємо

Р (С) = 0,33 + 0,41 + 0,2 =0,94.

 

Задача 2. Приживається 90% саджанців чорної смородини. Скільки по­трібно посадити саджанців, щоб з імовірністю не меншою 0,95 хоч один саджанець прижився?

Розв”язання. Нехай подія А = “саджанець прижився”. Тоді

p = Р (А)=0,9, q =1- p= 0,1. Якщо висаджено n саджанців, то ймовірність того, що хоч один з них приживеться, дорівнює

Р_n (1; n). Отже, потрібно знайти n з умови Р_n (1; n) ³ 0,95. Але

Р_n (1; n) = 1 - Р_n (0), тому слід розв”язати нерівність 1 - Р_n (0) ³ 0,95, тобто нерівність

Р_n (0) £ 0,05. (4.9)

Якщо взяти n = 1, то Р_n (0) = Р ₁(0) = =0,1 > 0,05 і нерівність (4.9) не виконується. При n =2 Р_n (0) = Р ₂(0) == = 0,01 < 0,05, тобто нерівність (4.9) виконується.

Отже, якщо висадити два саджанці чорної смородини, то з імовірністю не меншою 0,95 хоч один з них приживеться.

Зауваження. Той же результат дістанемо, застосувавши формулу (4.8) при Р = 0,95, р = 0,9:

= ,

тобто N ³ 2.

Задача 3. Схожість насіння даного сорту пшениці дорівнює 0,9. Знайти ймо­вірність того, що з 900 висіяних зерен проросте: а) 800 зерен; б) від 790 до 830 зерен; в) не менше 800 зерен.

Розв”язання. Під дослідом у цій задачі маємо на увазі висівання зернини, подія А = “зерно проросло”. Тоді р = Р (А) = 0,9, q = 1- р = 0,1. Висівається 900 зерен, тому n = 900. Оскільки число дослідів n велике, ймовірність р події А теж велика (np = 810), для обчислення потрібних імовірностей застосовуємо формули Лапласа (4.3), (4.4).

а) Маємо n = 900, m = 800. Для обчислень за формулою (4.3) знаходимо

≈

Отже,

(врахували парність функції Гаусса j(х) і її значення φ(1,11) = 0,2155 з таблиці Додатку 1).

б) Маємо n = 900, m ₁ = 790, m ₂ = 830. Для обчислень за формулою (4.4) знаходимо

Отже,

Р ₉₀₀(790;830) ≈ Ф(2,22) – Ф(– 2,22) = Ф(2,22) + Ф(2,22) = 2 Ф(2,22)=

= 2×0,4868 = 0,9736 (врахували непарність функції Лапласа Ф(х) та її значення Ф(2,22) = 0,4868 з таблиці Додатку 2).

в) Вимога, щоб проросло не менше 800 зерен пшениці, означає, що має прорости або 800, або 801, …, або всі 900 висіяних зерен. Отже, маємо n = 900, m ₁ = 800, m ₂ = 900. Як і в п. б) обчислюємо

Шукана ймовірність

Р ₉₀₀(800;900) ≈ Ф(10) – Ф(– 1,11) = Ф(10) + Ф(1,11) = 0,5 + 0,3665=

= 0,8665.

Задача 4. Ремонтна база обслуговує 8 господарств, з кожного з яких може поступити заявка на черговий день з імовірністю 0,3 незалежно від заявок інших господарств. Знайти найбільш імовірне число заявок, які поступають за день, і ймовірність отримання такого числа заявок.

Розв”язання. Нехай А = “надходження заявки на черговий день”. За умовою задачі n = 8, p = P (A)=0,3, q =1- p= 0,7. Найбільш імовірне число m ₀ заявок, які надійдуть з господарств за день, обчислюємо з умови (4.7)

np – q ≤ m ₀ ≤ np + p.

Маємо np – q = 8×0,3 – 0,7 = 2,4 – 0,7 = 1,7; np + p =2,4 + 0,3 =2,7. Отже, 1,7 ≤ m ₀ ≤ 2,7, звідки m ₀ = 2.

Ймовірність того, що на черговий день з господарств надійде дві заявки, знаходимо за формулою Бернуллі

Р ₈ (2) = 28×0,09×0,1176» 0,2965.

Задача 5. Станок-автомат відштампував 400 деталей. Ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,2. Знайти з імовірністю 0,9544 межі, в яких буде лежати число m стандарт­них деталей серед 400 виготовлених.

Розв”язання. Нехай подія А = “деталь стандартна”. Скористаємося формулою (4.6), ліву частину якої можна подати у вигляді

= Р (– ε ≤ ≤ ε) = Р (n (p – ε) ≤ m ≤ n (p+ ε)).

Отже,

Р (n (p – ε) ≤ m ≤ n (p+ ε)) .

За умовою задачі n = 400, p = P (A)=0,8, q =1– p= 0,2 і

або Ф(50e) = 0,4772.

За таблицею (Додаток 2) знаходимо Ф(2) = 0,4772, тому 50e = 2 і e=0,04. Таким чином, число m стандарт­них деталей серед 400 виготовлених з імовірністю 0,9544 лежить в межах

400 (0,8 – 0,04) ≤ m ≤ 400 (0,8 + 0,04),

або 304 ≤ m ≤ 336.

Задача 6. В одному з корпусів університету використовується 500 електричних ламп. Ймовірність перегорання однієї лампи протягом місяця дорівнює 0,004. Знайти ймовірність того, що протягом місяця перегорить: а) рівно дві електричних лампи; б) хоч одна лампа; в) не більше двох електричних ламп.

Розв”язання. За умовою задачі n = 500 - велике, p =0,004 - мале,

l = np = 2. Для підрахунку вказаних імовірностей застосовуємо формулу Пуассона (4.5):

а)

б) Р ₅₀₀ (1;500) = 1- Р ₅₀₀ (0)

в) Р ₅₀₀ (0;2) = Р ₅₀₀ (0) + Р ₅₀₀ (1) + Р ₅₀₀ (2)» 0,1353 + +0,2706 =

= 0,1353 + 0,2706 + 0,2706 = 0,6765.

Задача 7. Середнє число викликів, які надходять на АТС за одну хвилину, дорівнює 3. Знайти ймовірність того, що за 2 хвилини надійде: а) 4 виклики; б) не більше чотирьох викликів; в) не менше чотирьох викликів.

Розв”язання. Для обчислення потрібних імовірностей використаємо формулу Пуассона. За умовою задачі l₁ = 3 , s = 2 хв, отже параметр формули Пуассона дорівнює l = l₁× s =3×2 = 6. Позначимо через р _k ймовірність надходження k викликів за дві хвилини. Тепер маємо:

а) р ₄ 54×0,00248»0,134;

б) Р = р ₀ + р ₁ + р ₂ + р ₃ + р ₄ + + +

+ + = e ^-6 + 6 e ^-6 +18 e ^-6 +36 e ^-6 +54 e ^-6 =115×0,00248=0,285;

в) Р = 1 – (р ₀ + р ₁ + р ₂ + р ₃) = 1- (e ^-6 + 6 e ^-6 +18 e ^-6 +36 e ^-6) =

= 1 - 61 e ^-6 = 1 - 61×0,00248 = 1- 0,15128» 0,849.

 

Задачі для аудиторної і самостійної роботи

 

1. Продукція деякого виробництва містить 5% браку. Знайти ймовір­ність того, що серед п’яти взятих навмання виробів:

а) не буде жодного бракованого; б) буде два бракованих.

Відповідь: a) 0,77; б) 0,02.

2. Два рівносильні суперники грають в шахи. Що більш імовірно:

а) виграти одну партію з двох чи дві партії з чотирьох?

б) виграти не менше двох партій з чотирьох чи не менше трьох партій з п’яти? Нічиї до уваги не беруться. Відповідь: a) P ₂(1) = 1/2, P ₄(2) = 3/8 i P ₂(1) > P ₄(2); б) P ₄(2,4) = 11/16, P ₅(3,5) = 1/2 i P ₄(2,4) > P ₅(3,5).

3. Приживається 80% саджанців даного сорту яблуні. Скільки по­трібно посадити саджанців, щоб з імовірністю не менше 0,95 хоч один саджанець прижився? Відповідь: 2.

4. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах буде:

а) 75 влучень; б) не менше 75 влучень; в) від 75 до 90 влучень.

Відповідь: a) 0,04565; б) 0,8944; в) 0,8882.

5. Станок-автомат штампує деталі. Ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 деталей буде: а) 62 браковані деталі; б) не біль­ше 70 бракованих деталей; в) не менше 80 бракованих деталей.

Відповідь: a) 0,004; б) 0,1056; в) 0,5.

6. ВТК перевіряє партію з десяти деталей. Ймовірність того, що де­таль стандартна, дорівнює 0,75. Знайти найбільш імовірне число деталей, які будуть визнані стандартними. Відповідь: 8.

7. Стрілець робить 14 пострілів в мішень. Ймовірність влучення при одному пострілі дорівнює 0,2. Знайти найбільш імовірне число влучень і ймовірність цього числа влучень. Відповідь: 2 i 3; 0,25.

8. Відділ технічного контролю перевіряє на стандартність 900 дета­лей. Ймовірність того, що деталь стандартна, дорівнює 0,9. Знайти з імовірністю 0,9544 межі, в яких буде лежати число m стандарт­них деталей серед перевірених. Відповідь: 792 Ј m Ј 828.

9. Гральний кубик підкидають 80 разів. Знайти з імовірністю 0,9973 межі, в яких буде лежати число m появ шести очок.

Відповідь: 3 Ј m Ј 23.

10. Завод відправив на базу 500 виробів. Ймовірність пошкодження виробу при транспортуванні дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що в дорозі буде пошкоджено: а) рівно три вироби; б) менше трьох виробів; в) більше трьох виробів; г) хоч один виріб.

Відповідь: a) 0,0613; б) 0,9197; в) 0,019; г) 0,632.

11. Апаратура містить 2000 однаково надійних елементів, ймовір­ність відмови для кожного з яких дорівнює 0,0005. Знайти ймо­вірність відмови апаратури, якщо вона відбувається при відмові хоч одного з елементів. Відповідь: 0,632.

12. Насіння містить 0,1% зерен бур’янів. Знайти ймовірність того, що серед 2000 випадково відібраних зерен буде 5 насінин бур’янів.

Відповідь: 0,036.

13. В середньому на 1 м² посівів зустрічається одна бур’янина. Знайти ймовірність того, що на площі 3 м² виявиться більше двох стебел бур’яну. Відповідь: 0,5767.

 

 

Практичне заняття 5