Двумерные случайные величины.

Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика и его высота , образуют систему двух случайных величин
Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность совместного выполнения неравенств и , где x и y - любые действительные числа.

Функция двух переменных

(34)

определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин

Будем рассматривать и как декартовы координаты точки на плоскости. Точка может занимать то или иное положение на плоскости . Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка попадает в область , изображенную на рис. 13.

Двумерная случайная величина называется дискретной, если и - дискретные величины.
Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности x₁, x₂,..., x_n и y₁, y₂,..., y_s. Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид (x_i, y_j), где i=1, 2,..., n; j=1, 2,..., s. Обозначим через p_ij вероятность того, что

Функция распределения F(х, у) имеет вид

где двойная сумма распространена на те i и j, для которых x_i<x и y_j<y.
Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:

\	-1	0	1
0,1	p11=0,05	p12=0,20	p13=0,30
0,2	p21=0,10	p22=0,20	p23=0,15

Сумма всех вероятностей

Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение

 

Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через — на второй; тогда — Двумерная дискретная величина. Покажем, что величины и независимы.

Решение: Так как каждая из величин и независимо друг от друга может принимать 6 различных значений, то число различных значений двумерной случайной величины равно 36. Все эти значения, очевидно, равновероятны. Поэтому

С другой стороны,

Таким образом,

Двумерная величина называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная функция , двух переменных, что вероятность того, что точка содержится в некоторой области плоскости , равна двойному интегралу от функции по области :

(35)

Функция называется плотностью распределения вероятностей системы двух величин и . Отсюда, в частности, следует, что если область имеет вид, изображенный на рис. 13, то функцию распределения системы случайных величин можно записать следующим образом:

(36)

Непрерывные случайные величины и называются независимыми, если , где и - соответственно плотности распределения вероятностей случайных величин и . В этом случае

где F₁(x) и F₂(y) — соответственно функции распределения величин и [см. формулу (22)].
Зная функцию распределения F(х,у) двумерной случайной величины , легко найти как функцию распределения, так и плотность распределения каждой из случайных величин и , в отдельности.
Действительно, пусть F₁(x) - функция распределения случайной величины . Тогда . Так как в этом случае может принимать любое значение, то ясно, что

Следовательно, по формуле (36) имеем

Дифференцируя последнее равенство по x, согласно правилу дифференцирования интеграла по переменной верхней границе получим

(37)

Аналогичным образом получаем

и, следовательно,

(38)

Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины, надо проинтегрировать в границах от до плотность распределения системы по переменной, соответствующей другой случайной величине.

Пример 2. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения

Найти:
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14;
2) функцию распределения F(х,у);
3) плотности распределения каждой величины и в отдельности.

 

Решение:

1) Вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14, согласно формуле (35), равна

 

2) Используя соотношение (36), находим функцию распределения F(x,y):

 

3) Плотность распределения случайной величины находим по формуле (37):

Аналогичным образом, используя формулу (38), получим

Легко убедиться в том, что случайные величины и независимы, так как

 

По определению двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид

где , , а R - некоторая постоянная (см. § 9, п. 2). Можно показать [используя формулы (37) и (38)], что каждая из величин и распределена нормально:

На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. В частности, если и независимы, то . Отсюда следует, что R=0, и, cледовательно,

Нетрудно убедиться в том, что справедливо и обратное утверждение: если R=0, то и — независимые случайные величины.