Доказательство. Рассмотрим величину

. Очевидно, .

Применим к величине Y неравенство Чебышева:

Так как по условию теоремы при , то при доста­точно большом п

или, переходя к противоположному событию,

что и требовалось доказать.

Следствия закона больших чисел.

Пусть производиться n независимых опытов в каждом из которых с вероятностью p может произойти событие A, пусть – статистическая вероятность или частота появления события A в серии n – опытов.

Теорема Бернулли.

При неограниченном увеличении числа опытов частота сходится к вероятности по вероятности, то есть

или .

Доказательство. Введем в рассмотрение независимые случайные величины - число появлений события A в i – ом опыте. - дискретные случайные величины, их ряд распределения имеет вид:

	q	p

Тогда

Так как - независимые случайные величины ; , то к ним можно применить теорему Чебышева, учитывая, что , тогда или .

Предельная теорема Пуассона.

Пусть производиться n независимых опытов. Событие A в i - ом опыте может произойти с вероятностью , тогда при сходиться к среднему арифметическому вероятностей по вероятности, то есть.

Доказательство.

- независимые случайные величины(число появлений события A в i – ом опыте), имеющие следующие числовые характеристики , . Данные случайные величины удовлетворяют условиям обобщенной теоремы Чебышева.

Применяя её, получим

Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.

Центральная предельная теорема.

Центральная предельная теорема теории вероятностей представляет собой совокупность предложений, устанавливающих условия возникновения нормального закона распределения.

Пусть на заданы независимые случайные величины с числовыми характеристиками

(10.1.1)

Рассмотрим случайные величины

(10.1.2)

и установим условия, при которых распределение случайной величины с возрастанием п становится сколь угодно близким к нормальному N (0,1), т.е. .

Будем говорить, что последовательность случайных величин удовлетворяет центральной предельной теореме, если .

Заметим, что означает, что при достаточно большом n распределение Y_n становится близким к нормальному .

В самом деле, пусть . Тогда для любого сколь угодно малого существует , что при выполняется условие

Здесь - функция распределения : Ф(y) - функция распределения .

Положим . Тогда для :

(10.1.3)

Поскольку

где – распределение , а - распределение ,то вместо (10.1.3) можно записать:

Случайную величину , очевидно, можно представить в виде

(10.1.4)

где - независимые случайные величины с характеристиками

(10.1.5)

Если - характеристическая функция , то характеристическая функция случайной величины в силу независимости имеет вид:

(10.1.6)

Теперь, учитывая теорему единственности, вопрос о можно свести к установлению сходимости

(10.1.7)

 

Этот прием будет основным в доказательстве следующей теоремы, дающей достаточное условие для .

Теорема Ляпунова.

Пусть - независи­мые и одинаково распределенные случайные величины с числовыми характеристиками

(10.2.1)

Тогда

(10.2.2)

Доказательство. Прежде всего отметим, что выражение вида (10.2.2) совпадает с в выражениях (10.1.2), если считать выполненными условия (10.2.1). Поэтому доказательство должно сводиться к установлению сходимости (10.1.7).

Далее, в выражение (10.2.2) для входят только центрированные составляющие , случайных величин , поэтому доказательство можно проводить, полагая в (10.2.2) , т.е. при условиях

(10.2.3)

где - независимые и одинаково распределенные. Поскольку , одинаково распределены, то их характеристические функции совпадают:

(10.2.4)

Учитывая независимость , получим следующее выражение характеристической функции случайной величины :

Отсюда следует

(10.2.5)

Разлагая в ряд по степеням правую часть уравнения (10.2.5) при достаточно больших п получим с учетом теоремы о дифференцируемости характеристических функций

Отсюда найдем

В силу условия и формулы получим

Теперь можно записать

Отсюда следует требуемое

К числу простейших форм центральной предельной теоремы относится также теорема Лапласа.

Теорема Лапласа.

Если - число появлений случайного события А в п независимых повторных испытаниях с исходами , вероятности которых , то

(10.3.1)

Доказательство. Пусть - число появлений события А в i -м независимом повторном испытании в серии из п испытаний. Очевидно это - дискретная случайная величина с рядом распределения:

q	р

где .

Очевидно, существуют

	(10.3.2)

В силу независимости испытаний случайные величины можно считать независимыми.

Таким образом, для рассматриваемых здесь случайных величин выполняются все условия теоремы Ляпунова.

Следовательно, имеет место соотношение (10.2.2).

Случайную величину в выражении (10.2.2) в рассматриваемом случае можно представить в виде

(10.3.3)

где

при условии независимости случайных величин .

Таким образом, доказано, что если выполнены условия теоремы Лапласа, то

Отсюда, учитывая определение стандартного нормального закона , находим, что соотношение (10.3.1) справедливо.

2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа.

Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.