Косвенные оценки качества переходного процесса

К косвенным показателям качества переходного процесса относят частотные, корневые и интегральные оценки [1, 10].

Чаще всего используются частотные показатели качества, которые определяют по АХЧ замкнутой системы (K _{λ y} (ω) и т. д.), ЛФЧХ и ЛАЧХ разомкнутой системы и по вещественной части P (ω) ЧПФ замкнутой системы (2.39).

Частотная характеристика астатической системы представлена на рис. 5.6.

К частотным показателям качества относятся.

1. Полоса пропускания ω_п – полоса частот, в которой АЧХ превышает единицу. У астатической РАС ω_п = ω_ср. Если АЧХ во всем диапазоне частот меньше единицы, то ω_п отсчитывается по уровню 0,71. В этом случае ω_п = ω₀₇, где ω₀₇ – полоса пропускания РАС по уровню 0,71 (половинной мощности).

2. ω₀ – резонансная частота, которая отсчитывается по максимуму АЧХ замкнутой системы и определяет частоту колебаний ω_к в переходном режиме. При такой АЧХ полосу пропускания ω_п правильнее оценивать по уровню 0,71 (–3 дБ) от максимального значения АЧХ.

3. Частота среза АЧХ (ЛАЧХ) разомкнутой системы ω_ср.

4. Показатель колебательностиМ – отношение максимального значения АЧХ K _{λ y} (ω_р) к значению на постоянном токе K _λy(0):

. (5.28)

Обычно желательно иметь М ≤ 2.

При М > 1,5 – ПХ имеет колебательный характер (N ³ 2),

если 1,1< М <1,5, то ПХ имеет малоколебательный характер (N < 2),

при М ≤ 1 характер ПХ будет апериодическим.

 

Рассмотрим связь некоторых частотных показателей качества с основными показателями качества быстродействия РАС.

Время регулирования Т_р можно оценить по формуле

. (5.29)

Также при М > 1 можно использовать эмпирические соотношения [13, 17]:

, с; , (5.30)

где ω₀₅ – циклическая частота, на которой АЧХ имеет значение 0,5 K _{λ y} (0).

Погрешности данных эмпирических формул не превышают 25%.

Существует связь между показателем колебательности М и запасом устойчивости по фазе φ _з. На частоте ω_п H (ω_п) = 1, тогда из формулы (2.37) получаем . В диапазоне частот ω_ср и ω_п ЛАЧХ разомкнутой системы имеет наклон –20дБ/дек, поэтому ФЧХ в этом диапазоне изменяется мало, что после упрощения ∆φ(ω_п) ≈ ∆φ(ω_ср) = φ _з в результате дает

. (5.31)

Полоса пропускания ω_п и частота среза ω_ср связаны соотношением:

, откуда следует .

Если исследовать (2.37) на максимум [4], и подставить в результат (5.31) и полученные формулы, получим [1, 4]:

. (5.32)

Анализ формулы (5.32) подтверждает сделанные ранее выводы о характере ПХ при определенных значениях М и φ _з.

По вещественной части P (ω) ЧПФ замкнутой системы (2.39) можно также судить о характере ПХ РАС, на основании анализа формул (2.40) [10, 20].

, (5.33)

где P _max(ω) – наибольшее значение P (ω).

Если P (ω) монотонно убывающая функция (P (ω)~1/ω), то ПХ будет иметь апериодический характер (рис. 5.7 график 1).

Если функция P (ω) имеет неубывающий (постоянный) участок АЧХ, то ПХ будет иметь малоколебательный характер (γ < 18%) (рис. 5.7 график 2).

Если функция P (ω) имеет возрастающий участок («резонансный горб») АЧХ, то ПХ будет иметь колебательный характер (γ > 18%). (рис. 5.7 график 3).

Из проведенного анализа также можно сделать такие выводы:

сужение полосы пропускания приводит к усилению колебательности переходного процесса,

у устойчивых систем с достаточным запасом устойчивости по фазе в области частоты среза ЛАЧХ как правило имеет наклон не более –20 дБ/дек (дБ на декаду).

Временные и частотные характеристики звеньев

Второго порядка

 

ПФ звена второго порядка можно представить в нескольких формах записи:

, (5.34)

где z – коэффициент демпфирования.

Возможно представление ПФ в таком виде:

. (5.35)

Наиболее общие формы – первая и вторая в (5.34). Третьей в (5.34) пользуются преимущественно для колебательных звеньев. Форма (5.35) удобна исключительно для апериодических звеньев.

Свойства апериодического и колебательного позиционных звена отличаются прежде всего разными значениями величин z.

Для апериодических звеньев второго порядка z ³ 1. Дляних характерна монотонная форма ПХ и плавная (без подъемов) АЧХ (ЛАЧХ) (прил. 2), имеющая в области высоких частот крутизну спада –40 дБ/дек.

ПХ такого звена определяется по формуле (прил. 1)

, (5.36)

а ИХ – как

. (5.37)

График ПХ h (t), приведенный на рис. 5.8, дает представление об определении параметров ПФ по экспериментальной характеристике.

(См. также рис. 5.9 и 5.10, график 4.)

Если в (5.35) – (5.37) Т₃ = Т₄ (z = 1 или Т ₁ = 2 Т₂ в (5.34)), то

, . (5.38)

При Т₄ ® 0 данное звено вырождается в апериодическое звено первого порядка.

У колебательного звена z < 1.

Если параметр демпфирования z лежит в пределах , то на ПХ (рис. 5.9, график 3) появляется выброс (зона перерегулирования), хотя АЧХ (рис. 5.10) по существу не меняется.

По мере уменьшения z ярче проявляются резонансные свойства звена (рис. 5.10, графики 1 и 2), и соответственно увеличивается колебательность временных характеристик (число пересечений уровня h (¥) (рис. 5.9, графики 1 и 2) и g (¥).

Хотя при увеличении z уменьшается время запаздывания (Т_з1 – Т_з4 на рис. 5.9) и увеличивается максимальная скорость нарастания ПХ , время регулирования из-за усиления колебательности процесса может даже увеличиться (на рис. 5.9 Т_р1 > Т_р2 > Т_р3 < Т_р4).

Число полных периодов колебаний N за время регулирования (N = 1 на ПХ рис. 5.11, N = 2 на ПХ рис. 5.9, график 1)

Временные характеристики колебательного звена описываются выражением

=

= , (5.39)

. (5.40)

В (5.39) – (5.40) – собственная частота колебаний звена; – коэффициент затухания; также a и w_к являются соответственно действительной и мнимой частями корней характеристического уравнения звена () [17, 18]:

. (5.41)

Графики звена второго порядка с колебательной ПХ изображены на рис. 5.9 и 5.11.

График на рис. 5.11 иллюстрирует, как по экспериментальной ПХ реального звена можно найти параметры соответствующего колебательного звена.

С погрешностью менее 25% при γ ³ 8 %, кроме формул (5.30) и других, приведенных ранее, можно оценить некоторые параметры ПХ с помощью эмпирических формул [13, 17, 20]:

Т_{у 2} = Т_н – Т_у; Т_{у 1} = Т ₀₉ – Т_зап; ; . (5.42)

Если параметр демпфирования z лежит в пределах , то АЧХ по существу не меняется (рис. 5.10) по сравнению с апериодическим звеном (z ³ 1), хотя на ПХ (рис. 5.9, график 3) появляется выброс.

Только в случае наблюдается заметный подъем АЧХ в некотором диапазоне частот, при этом показатель колебательности М и «резонансный горб» увеличиваются с уменьшением z. Обычно резонансная частота w₀ несколько ниже w_к , но приближается к ней с ростом z.

На рис. 5.12 приведены примеры нормированных АЧХ звеньев второго порядка: апериодического (график 1) и колебательного (график 2).

Пример 5.2. Проанализируем показатели качества и взаимосвязь временных и частотных характеристик на примере апериодического и колебательного звеньев.

За основу возьмем частотные зависимости (АЧХ), показанные на рис. 5.10. Частота w на этих графиках изменяется от 0 до 22 рад/с.

Для графика 1 получаем (z₁ = 0,3): М = 1,93, w₀ = 9,3 рад/с, w_п = 5,9 рад/с, w_ср = 13,1 рад/с, w₀₇ = 14,7 рад/с, w₀₅ = 16,8 рад/с.

Для графика 2 находим (z₂ = 0,5): М = 1,15, w₀ = 6,9 рад/с, w_п = 11,7 рад/с, w_ср = 10,0 рад/с, w₀₇ = 12,7 рад/с, w₀₅ = 15,3 рад/с.

Для графика 3 – (z₃ = 0,8): М = 1, w_п = w₀₇ = 8,7 рад/с, w₀₅ = 12,7 рад/с.

Для графика 4 – (z₄ = 1,1): М = 1, w_п = w₀₇ = 5,6 рад/с, w₀₅ = 15,3, рад/с.

С помощью формулы (5.29) оценим Т_р :

Т_р1 = 0,5…2,0 с, Т_р2 = 0,3…1,1 с, Т_р3 = 0,36…1,4 с, Т_р4 = 0,56…2,2 с.

Оценим с помощью формулы (5.30) Т_р и γ при М > 1:

Т_р1 = 1,4 с, γ₁= 48%, Т_р2 = 0,57 с, γ₂= 9%.

Зная w₀, найдем период Т_к и частоту колебаний w_к ПХ с помощью (5.40):

w_1к = 8,9 рад/с, w_2к = 5,7 рад/с, Т_1к = 0,7 с, Т_2к = 1,1 с.

Сравним полученные результаты с прямыми оценками показателей качества, которые определяются из графиков ПХ, показанных на рис. 5.9 (t изменяется от 0 до 1,2 с): Т_р1 = 1,07 с, Т_р2 = 0,53 с, Т_р3 = 0,34 с, Т_р4 = 0,47 с; γ₁ = 42%, γ₂ = 15%, γ₃ = 2%, γ₄ = 0%, Т_1к = 0,7 с, Т_2к > 1 с. К (w=0) = h (¥) = k ₀. К (w®¥) = h (0)=0.

Оценим с помощью формулы (5.42) временные параметры (рис. 5.11) ПХ при М > 1: для графика 1 (z= 0,3) получаем Т_у1 = 0,02 с, Т_у2 = 0,19 с; а для графика 2 (z= 0,5) – Т_у1 = 0,09 с, Т_у2 = 0,21 с (эти параметры позволяют оценить скорость нарастания ПХ на начальном участке).

Сравним полученные результаты с оценками показателей качества, которые можно определить из графиков ПХ, показанных на рис. 5.9.

Для графика 1 (z= 0,3) получаем Т ₀₉ – Т_зап = Т_у1 = 0,05 с, Т_н – Т_у = = Т_у2 = 0,15 с; а для графика 2 (z= 0,5) – Т ₀₉ – Т_зап = Т_у1 = 0,08 с, Т_н – Т_у = = Т_у2 = 0,21 с.

Таким образом, временные оценки, полученные косвенно из частотных характеристик, качественно совпадают с прямыми оценками, полученными из ПХ.

Пример 5.3. Найдем показатели качества и оценим взаимосвязь временных и частотных оценок для ФАПЧ из примера 4.2.

Рассмотрим только вариант с наибольшим запасом устойчивости (Т₂ = 4,7 мс, k ₀ = 200 (46 дБ)).

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы были построены на рис. 4.12 (график 1). Запас устойчивости по усилению составил >40 дБ, а запас по фазе – примерно 15°, ω_ср1 = 45 рад/с, ω_кр1 = 400 рад/с.

Система астатическая первого порядка.

Характеристика P (w) показана на рис. 5.7 (график 3).

Построим АЧХ замкнутой системы (рис. 5.13), для этого сделаем замену р ® i w в формуле (4.10) и выделим модуль.

Построим ПХ замкнутой системы (рис. 5.14), для этого умножим формулу (4.10) на 1/ р и выполним обратное преобразование Лапласа.

Из графика АЧХ находим частотные оценки:

М = 4,8, w₀ = 44,2 рад/с, w_п = 9,5 рад/с, w_ср = 62,5 рад/с, w₀₇ = 68,8 рад/с, w₀₅ = 76,8 рад/с, z = 0,11.

Из графика ПХ определяем временные параметры: Т_р = 0,64 с, h _max1 = 1,72, γ = 72%, N = 4, h _max2 = 1,35, u = 2, а = 4,7 1/с; Т_м1 = 70 мс, Т_к = 0,14 с (w_к = 44,4 рад/с), Т_зап = 25 мс, Т_н = 38 мс.

Подтвердились выводы о колебательности ПХ.

Определим некоторые временные параметры по косвенным оценкам.

Зная М, найдем с помощью формулы (5.32) запас по фазе: φ _з = 13°.

С помощью формулы (5.29) оценим Т_р: Т_р = 0,3…1,3 с.

Оценим с помощью формулы (5.30) Т_р и γ: Т_р = 1 с, γ = 130%.

Оценим с помощью формулы (5.42) временные параметры нарастания ПХ: Т_у1 = 0 с, Т_у2 = 40 мс. Сравним их с временными параметрами, полученными из анализа ПХ на рис. 5.14:

Т ₀₉ – Т_зап = Т_у1 = 35 – 25 = 10 мс, Т_н – Т_у = Т_у2 = 38 – 4 = 34 мс.

Пример 5.4. Найдем показатели качества и оценим взаимосвязь временных и частотных оценок для РАС из примера 4.5.

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ были построены на рис. 4.14.

Запас устойчивости по усилению составил 40 дБ, а запас по фазе – примерно 60°, ω_ср = 100 рад/с, ω_кр = 1000 рад/с. Система статическая.

График P (w) показан на рис. 5.15, его поведение напоминает график 2 на рис. 5.7. Согласно косвенным оценкам ПХ должна быть малоколебательной.

Построим АЧХ замкнутой РАС (рис. 5.16), для этого найдем H (р):

, (5.43)

а затем H (i w) и выделим модуль. H (0) = h (¥) = S_д /(S_д + 1) = 10/11.

Построим ПХ замкнутой системы (рис. 5.17), для этого разделим в полученной формуле H (р) на р и выполним обратное преобразование Лапласа.

Из графика АЧХ определяем частотные оценки: М = 1,13, w₀ = 72 рад/с, w_п = 122 рад/с, w_ср = 84 рад/с, w₀₇ = 132 рад/с, w₀₅ = 158 рад/с.

Из графика ПХ определяем временные параметры: Т_р = 51 мс, h _max1=1,03, γ = 13%, N = 1, z = 0,52, u = 1,02, а = 54,5 1/с; Т_м1 = 35 мс, Т_к = 70 мс (w_к = 89,8 рад/с), Т_зап = 13 мс, Т_н = 24 мс.

Подтвердились выводы о малоколебательности ПХ.

Определим некоторые временные параметры по косвенным оценкам.

Зная М, найдем с помощью формулы (5.32) запас по фазе: φ _з = 62°.

С помощью формулы (5.29) оценим Т_р: Т_р = 0,3…1,0 с.

Оценим с помощью формулы (5.30) Т_р и γ: Т_р = 48 мс, γ = 3%.

Оценим с помощью формулы (5.42) временные параметры нарастания ПХ: Т_у1 = 9 мс, Т_у2 = 23 мс. Сравним их с временными параметрами, полученными из анализа ПХ на рис. 5.14:

Т ₀₉ – Т_зап = Т_у1 = 21 – 13 = 8 мс, Т_н – Т_у = Т_у2 = 24 – 2 = 22 мс.

Найдем корни характеристического полинома (знаменателя формулы (5.43)) с помощью программы MathCad. При заданных условиях получаем такие корни: р₁ = –1×10⁴; р_{2 , 3} = –54,5 ± i 89,6.

Таким образом, подтвердились сделанные ранее выводы о характере процессов РАС, рассмотренных в примерах 5.3 и 5.4, и о взаимосвязи временных и частотных характеристик.

Список рекомендуемой литературы: [ 1, с. 79-88; 2, с. 91-128; 3, с. 168-172, 202-213, 232-238, 293-337; 4, с. 87-95; 5, с. 85-94; 6, с. 16-20; 10, т. 1, с. 179-194, 214-231; 10, т. 2, С.142-144; 11, с. 386-427, 434-441, 452-458, 471-476; 18, с. 61-75; 27, с. 90-95, 113-115, 155-160, 175-177].

Контрольные вопросы

1. Назовите основные разновидности управляющих и возмущающих воздействий.

2. Какие испытательные сигналы применяют при анализе РАС?

3. Чем детерминированные воздействия отличаются от стохастических?

4. Дайте определение ошибкам статическим, скоростным и по ускорению.

5. Какие требования выдвигают к астатизму РАС при известном порядке полинома входного воздействия?

6. Назовите методы оценки параметров качества РАС.

7. Чем отличаются прямые и косвенные методы?

8. Как определяется ошибка РАС при гармоническом воздействии?

9. Что такое астатизм РАС?

10. Как астатизм системы влияет на ее точность в установившемся режиме?

11. Назовите прямые методы оценки быстродействия РАС.

12. Назовите косвенные методы оценки быстродействия РАС.

13. Какой вид ПХ предпочтительней в САУ?

14. Почему ПХ с сильной колебательностью не желательна в САУ?

15. Укажите основные (прямые) характеристики оценки качества переходного процесса.

16. Как влияет резонансная частота и добротность колебательной системы на форму переходного процесса?

17. Опишите последовательность вычисления ошибки произвольной САУ в установившемся режиме при произвольном воздействии.

18. Как астатизм системы влияет на быстродействие РАС?

19. Когда переходный процесс в РАС считают завершившимся?