При вращательном движении твердого тела под действием силы f работа равняется произведению момента этой силы на угол поворота.

При вращательном движении твердого тела под действием силы F работа равняется произведению момента этой силы на угол поворота.

Работа переменной силы при повороте тела на конечный угол равняется определенному интегралу от момента сил:

.

Покажем, работа, совершаемая под действием равнодействующего момента сил, равна изменению кинетической энергии тела. Действительно,

dA = M·da = I·e·da = I·(dw/dt)·w·dt = I·d(w²/2),
где M - суммарный момент всех сил, действующих на тело.

Произведя интегрирование по углу, получим:

A₁₂ = I·w₂²/2 - I·w₁²/2 = DE_к.

2.Изменение кинетической энергии тела под действием силы Скалярная величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости называется кинетической энергией тела: Ek=(m*v^2)/2/ Кинетическая энергия тела (от гр. kinetikos — приводящий в движение) — это энергия, которой тело обладает вследствие движения.
Кинетическую энергию тела относительно ИСО найдем, исходя из определения:

E_к = Sm_i·v_i²/2 = Sm_i·(v_i·v_i)/2 =
= Sm_i·(V_c + v_i')²/2 =
= Sm_i·V_c²/2 + Sm_i·v_i'²/2+ Sm_i·V_c·v_i'.

Полученное выражение представляет собой сумму трех слагаемых:

	кинетической энергии переносного движения, обусловленного движением центра масс M·Vc^2/2;
	кинетической энергии относительного движения, обусловленного движением частей тела в СО, связанной с центром масс, равной Smi·vi'^2/2 = Ic·w^2/2;
	произведения полного импульса тела p' в СО, связанной с центром масс на скорость движения центра масс: Vc·Smi·vi' = Vc·p'. Легко показать, что значение p' равняется нулю. p' = Smi·vi' = Smi·(vi - Vc) = Smi·vi - Smi·Vc = = Smi·vi - M·Vc = 0, т.к. из определения центра масс и мгновенной скорости следует, что Vc = Smi·vi/M.

Кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической энергии его поступательного движения и энергии его движения E' относительно СО, связанной с центром масс.
Это утверждение называется теоремой Кёнига.
E_к = E' + M·V_c²/2.

Теорема Кёнига справедлива для любого плоского движения при котором центр масс перемещается в некоторой фиксированной плоскости, а вектор угловой скорости все время перпендикулярен к этой плоскости. Примером плоского движения является качение.

3.Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы^[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

E_p = mgh,

где E_p — потенциальная энергия тела, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

4.Свойства потенциальной энергии.
1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.
2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией.
Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии:

Вывод

Момент инерции, по определению:

Радиус-вектор можно расписать как разность двух векторов:

,

где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

Вынося за сумму , получим:

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

Тогда:

Откуда и следует искомая формула:

,

где J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Момент силы, действующей на материальную точку. Пусть частица A движется произвольным образом относительно точки О под действием силы F (см. рис. 6.2). Моментом силы частицы относительно закрепленной точки называется величина, равная векторному произведению:

M = [ r · F ], (6.3)
где r - радиус вектор точки приложения силы F.

кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении. Кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетических энергий его частей E_i. Рассчитаем значение E_i для элементов твердого тела.

E_i = m_i·v_i²/2 = m_i·w²·r_i²/2.

Кинетическая энергия твердого тела будет равна:

E_к = w²/2·Sm_i·r_i² = I·w²/2. (8.13)

Заметим, что формула для расчета E_к похожа на выражение для определения кинетической энергии поступательного движения тела, только роль меры инертности в этом случае играет момент инерции, а не масса и характеристикой движения является угловая, а не линейная скорость твердого тела.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, — импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

где — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как где - импульс бесконечно малого точечного элемента системы).

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется:

.

При вращательном движении твердого тела под действием силы F работа равняется произведению момента этой силы на угол поворота.

Работа переменной силы при повороте тела на конечный угол равняется определенному интегралу от момента сил:

.

Покажем, работа, совершаемая под действием равнодействующего момента сил, равна изменению кинетической энергии тела. Действительно,

dA = M·da = I·e·da = I·(dw/dt)·w·dt = I·d(w²/2),
где M - суммарный момент всех сил, действующих на тело.

Произведя интегрирование по углу, получим:

A₁₂ = I·w₂²/2 - I·w₁²/2 = DE_к.

2.Изменение кинетической энергии тела под действием силы Скалярная величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости называется кинетической энергией тела: Ek=(m*v^2)/2/ Кинетическая энергия тела (от гр. kinetikos — приводящий в движение) — это энергия, которой тело обладает вследствие движения.
Кинетическую энергию тела относительно ИСО найдем, исходя из определения:

E_к = Sm_i·v_i²/2 = Sm_i·(v_i·v_i)/2 =
= Sm_i·(V_c + v_i')²/2 =
= Sm_i·V_c²/2 + Sm_i·v_i'²/2+ Sm_i·V_c·v_i'.

Полученное выражение представляет собой сумму трех слагаемых:

	кинетической энергии переносного движения, обусловленного движением центра масс M·Vc^2/2;
	кинетической энергии относительного движения, обусловленного движением частей тела в СО, связанной с центром масс, равной Smi·vi'^2/2 = Ic·w^2/2;
	произведения полного импульса тела p' в СО, связанной с центром масс на скорость движения центра масс: Vc·Smi·vi' = Vc·p'. Легко показать, что значение p' равняется нулю. p' = Smi·vi' = Smi·(vi - Vc) = Smi·vi - Smi·Vc = = Smi·vi - M·Vc = 0, т.к. из определения центра масс и мгновенной скорости следует, что Vc = Smi·vi/M.

Кинетическая энергия твердого тела состоит из кинетической энергии его поступательного движения и энергии его движения E' относительно СО, связанной с центром масс.
Это утверждение называется теоремой Кёнига.
E_к = E' + M·V_c²/2.

Теорема Кёнига справедлива для любого плоского движения при котором центр масс перемещается в некоторой фиксированной плоскости, а вектор угловой скорости все время перпендикулярен к этой плоскости. Примером плоского движения является качение.

3.Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы^[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

E_p = mgh,

где E_p — потенциальная энергия тела, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

4.Свойства потенциальной энергии.
1. Потенциальная энергия является конечной, однозначной, непрерывной функцией механического состояния системы.
2. Численное значение потенциальной энергии зависит от выбора уровня с нулевой потенциальной энергией.
Как потенциальная энергия может быть найдена по известной консервативной силе, так и консервативная сила может быть найдена по потенциальной энергии: