Начисление процентов в смежных календарных периодах

Если даты начала и окончания ссуды находятся в двух отчетных периодах, то в бухгалтерском учете или при налогообложении возникает задача распределения начисленных процентов по периодам.

 

Рис. 3.2

 

Общий срок ссуды делится на два периода n ₁ и n ₂. Тогда

 

,

 

где

,

 

.

 

Пример 3.2. Ссуда была выдана на 2 года: с 01.05.06 по 01.05.08. Размер ссуды – 10 млн. руб. Ставка 14 % годовых (ACT/ACT). Необходимо распределить начисленные проценты по календарным годам.

За период с 1.05.06 по 31.12.06 (244 дня):

тыс. руб.

За 2007 г.:

тыс. руб.

 

За период с 1.01.08 по 1.05.08 (121 день):

тыс. руб.

тыс. руб.

 

Если подсчитать для всего срока в целом, то получим

 

тыс. руб. [5, с. 46].

 

 

Переменные ставки

В этом случае

 

(3.5)

 

где i ₁, i ₂, …, i_k – последовательные значения процентных ставок в периодах n ₁, n ₂, …, n_k.

 

Пример 3.3. Срок ссуды – 5 лет. Договорная базовая процентная ставка – 12 % годовых плюс маржа 0,5 % впервые 2 года и 0,75 % в оставшиеся годы. Найти множитель наращения.

 

[5, с. 46–47].

 

 

Начисление процентов при дробном числе лет

Применяется 2 метода. Согласно первому расчет ведется непосредственно по формуле (3.1). Второй метод, смешанный, предусматривает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть года – по формуле простых процентов:

 

, (3.6)

 

где n = a + b – срок ссуды, a – целое число лет, b – дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда периодом начисления является полугодие, квартал или месяц. Следует иметь в виду, что множитель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, т. к. для n < 1 справедливо соотношение: 1 + ni > (1 + i) ⁿ. Наибольшая разница при b = ½.

 

Пример 3.4. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на 3 года и 160 дней. Ставка – 16,5 % сложных годовых. Найти сумму долга на конец срока.

 

года.

1. Общий метод (по формуле (3.1)):

 

руб.

 

2. Смешанный метод:

 

руб. [5, с. 47–48].

 

 

Сравнение роста по сложным и простым процентам

При условии, что временн а я база для начисления процентов одна и та же, выполняются соотношения:

1) для срока меньше года (n < 1) простые проценты больше сложных:

, здесь i_s – ставка простых процентов;

2) для срока больше года (n > 1) сложные проценты больше простых:

;

3) для срока, равного году (n = 1), множители наращения равны друг другу:

.

Рис. 3.3

 

Сравним множители наращения при i_s = i = 12 %, K = 365 дней (см. таблицу).

 

Множитель наращения	Срок ссуды
30 дней	180 дней	1 год	5 лет	10 лет	100 лет
1 + ni	1,01644	1,05918	1,12	1,6	2,2
(1 + i) ^n	1,00936	1,05748	1,12	1,76234	3,10584	83522,3

 

Наиболее наглядно влияние вида ставки можно показать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. На основе (2.1) и (3.1) получим следующие формулы удвоения:

 

– по простым процентам: ;

– по сложным процентам: .

 

Пример 3.5. Найти сроки удвоения для i_s = i = 22,5 %.

 

; [5, с. 48–49].

 

 

3.3. Наращение процентов m раз в году.
Номинальная и эффективная ставки

Номинальная ставка

При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1). В этом случае n означает число периодов начисления, а i – ставка за соответствующий период. Пусть j – годовая ставка, а m – число периодов начисления в году. Каждый раз проценты начисляются по ставке . Ставку j называют номинальной. Формула наращения:

 

, (3.7)

 

где – общее число периодов начисления процентов.

 

Пример 3.6. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не один раз в году, а поквартально. В этом случае N = 20. Найти сумму долга.

 

руб.

 

А при ежегодном начислении процентов мы получим

 

руб.

 

Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Например:

 

m
Множитель наращения	6,1917	6,7275	7,04	7,2682	7,385

Пример 3.7. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина500 тыс. руб., проценты сложные, ставка 20 % годовых, начисление поквартальное?

 

По условиям задачи число периодов наращения N = 25: 3 = 8⅓. Применим два метода наращения: общий и смешанный.

1. Общий метод:

 

руб.

 

2. Смешанный метод:

 

руб. [5, с. 49–51].

 

 

Эффективная ставка

Другое название – действительная ставка. Она измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m -разовое начисление процентов по ставке .

Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной ставке и номинальной ставке при m -кратном начислении процентов) должны быть равны друг другу:

 

.

Отсюда следует:

 

. (3.8)

 

При m >1 эффективная ставка больше номинальной.

Если в договоре номинальная ставка j при m -кратном начислении процентов заменяется на эффективную ставку i, то финансовые обязательства сторон договора не изменятся. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Поэтому разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки одинаковы.

 

Пример 3.8. Найти размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.

 

.

 

Для участвующих в сделке сторон безразлично, применить ставку 25 % при ежемесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732 %.

 

Введем обозначение j ^{( m )} – размер номинальной ставки и число начислений за год. Эквивалентная замена номинальной ставки имеет место только когда выполняется равенство:

 

.

 

Поскольку m может принимать только целые значения, то удобнее определять значение новой ставки, задавшись величиной m ₂:

 

.

 

Пример 3.9. Определить номинальную ставку j ⁽⁴⁾, которая безубыточно заменяет ставку j ⁽¹²⁾ = 25 % в примере 3.8.

 

.

 

Т. о., сокращение количества начислений потребует увеличения ставки с 25 % до 25,524 %.

 

При подготовке контрактов может возникать необходимость определения j по заданным значениям i и m [5, с. 51–53]:

 

. (3.9)