![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Асимптотические обозначения в уравнениях
· Если в правой части уравнения находится только асимптотическое обозначение (например n = O (n ²)), то знак равенства обозначает принадлежность множеству (n ∈ O (n ²)). · Если в уравнении асимптотические обозначения встречается в другой ситуации, они рассматриваются как подставляемые взамен их некоторые функции. Например, при x → 0 формула ex − 1 = x + o (x) обозначает, что ex − 1 = x + f (x), где f (x) — функция, о которой известно только то, что она принадлежит множеству o (x). Предполагается, что таких функций в выражении столько, сколько раз встречаются в нём асимптотические обозначения. Например, · Если асимптотические обозначения встречаются в левой части уравнения, используют следующее правило: · Несколько таких уравнений могут быть объединены в цепочки. Каждое из уравнений в таком случае следует интерпретировать в соответствии с предыдущим правилом. Приведенная интерпретация подразумевает выполнение соотношения:
Примеры использования · ex = 1 + x + x ²/2 + O (x ³) при x → 0. · n! = O ((n / e) n +1/2) при n → ∞. · T (n) = (n + 1)2 = O (n 2) при n → ∞. Доказательство: Если положить n 0 = 1 и c = 4, то для n ≥1 будет выполняться неравенство (n + 1)2 < 4 n 2. Отметим, что нельзя положить n 0 = 0, так как T (0) = 1 и, следовательно, это значение при любой константе c больше c 02 = 0. · Функция T (n) = 3 n 3 + 2 n 2 при n → ∞ имеет степень роста O (n 3). Чтобы это показать, надо положить n 0 = 0 и c = 5. Можно, конечно, сказать, что T (n) имеет порядок O (n 4), но это более слабое утверждение, чем то, что T (n) имеет порядок роста O (n 3). · Докажем, что функция 3 n при n → ∞ не может иметь порядок O (2 n). Предположим, что существуют константы c и n 0 такие, что для всех n ≥ n 0 выполняется неравенство 3 n ≤ c 2n. Тогда c ≥ (3/2)n для всех n ≥ n 0. Но (3/2)n принимает любое, как угодно большое, значение при достаточно большом n, поэтому не существует такой константы c, которая могла бы мажорировать (3/2)n для всех n больших некоторого n 0.
· T (n) = n 3 + 2 n 2 есть Ω(n 3) при n → ∞. Для проверки достаточно положить c = 1. Тогда T (n) > cn 3 для n = 0,1,.... История Обозначение «„O“ большое» введено немецким математиком Паулем Бахманом (англ.) во втором томе его книги «Analytische Zahlentheorie» (Аналитическая теория чисел), вышедшем в 1894 году. Обозначение «„о“ малое» впервые использовано другим немецким математиком, Эдмундом Ландау в 1909 году; с работами последнего связана и популяризация обоих обозначений, в связи с чем их также называют символами Ландау. Обозначение пошло от немецкого слова «Ordnung» (порядок). Непрерывная функция Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения отображения. График непрерывной функции может быть начерчен «не отрывая карандаш от бумаги». Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающих вещественные значения.
Определения ε-δ определение Пусть
Функция f непрерывна в точке Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция f класса C 0 и пишут: Комментарии · Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения. · Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x 0, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x 0, и этот предел совпадает со значением функции f (x 0). · Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю. Связанные определения Точки разрыва Если попытаться построить отрицание свойства непрерывности функции в точке (предельной для области определения), то получится следующее: Существует такая окрестность значения функции в рассматриваемой точке, что сколь близко мы не подходили бы к данной точке, всегда можно будет найти точку, значение в которой окажется за пределами заданной окрестности. В этом случае говорят, что функция f терпит разрыв в точке a. Возможны два варианта: · либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке: тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексном анализе — устранимая особая точка). Положив · либо предела функции в данной точке не существует и тогда. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва: o если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода; o если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. Свойства Локальные · Функция, непрерывная в точке · Если функция · Если функции · Если функции · Если функция Глобальные · Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём. · Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения. · Областью значений функции · Если функция · Если функция
· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна. · Монотонная функция на отрезке · Если функции Примеры Элементарные функции Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; просмотров: 930; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.139.86.173 (0.024 с.) |