Минский государственный высший

Минский государственный высший

авиационный колледж

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Методическое руководство

по выполнению курсовой работы

 

Минск

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171

Т 33

Составитель

А. Н. НАРОЛЬСКАЯ

Рецензенты:

 

И. Л. ДУДНИКОВ

 

заведующий кафедрой «Техническая эксплуатация

авиационного оборудования»,

кандидат технических наук, доцент

 

В. П. ВАСИЛЬЕВ

 

профессор кафедры «Математика и информатика»

Минского филиала Московского государственного

университета экономики, статистики и информатики,

кандидат физико-математических наук

 

Обсуждено и рекомендовано к изданию

Научно-методическим советом МГВАК

(протокол от 28 сентября 2010 года № 2)

 

Т 33 Теория вероятностей и математическая статистика: методическое руководство

по выполнению курсовой работы / сост. А. Н. Нарольская. – Минск: МГВАК,

2010. – 36 с.

 

Данное методическое руководство составлено в соответствии с программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», содержит задания для курсовой работы и типовые примеры их решения, рекомендации по выполнению и оформлению курсовой работы по данной дисциплине.

Издание предназначено для курсантов третьего курса специальности 1-37 04 02-01 «Техническая эксплуатация авиационного оборудования (приборное и светотехническое оборудование).

 

© МГВАК, 2010

 

B ведение

Методическое руководство составлено с учетом специфики преподавания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Оно содержит два задания для курсовой работы, типовые примеры их решения в объеме, достаточном для самостоятельного выполнения курсовой работы по данной дисциплине.

Каждое задание связано с решением прикладной задачи. Выполняя отдельные этапы задания, курсант должен продемонстрировать умение пользоваться теми или иными методами решения задач теории вероятностей и математической статистики.

Методическое руководство состоит из трех разделов. Первые два

содержат теоретический материал для решения задач заданий 1 и 2. Для обоих заданий приведены типовые примеры решения соответствующих задач и варианты заданий для курсовой работы.

Третий раздел содержит материал, который будет полезен для правильного оформления курсовой работы.

При подготовке данного методического руководства были использованы публикации [1, 2].

 

Задание 1

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

КАТАСТРОФЫ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Задача

Летательный аппарат (ЛА) состоит из:

· m двигателей с вероятностью отказа P ₁ , P ₂ , …, P_m;

· n дублирующих систем энергоснабжения с вероятностью отказа

P _1э, P _2э, …, ;

· N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа P _С

каждая.

Катастрофа наступает, если выходят из строя:

· любые (r+ 1) и более двигателей;

· все системы энергоснабжения;

· хотя бы одна из N вспомогательных подсистем.

В случае отказа любого r из m двигателей катастрофа наступает с вероятностью P_D.

Определить вероятность катастрофы ЛА и сравнить ее с вероятностью катастрофы ЛА без дублирующих систем (один двигатель с вероятностью катастрофы P ₁, одна система энергоснабжения с вероятностью отказа P _1э и N вспомогательных подсистем с вероятностью отказа P _С каждая), предполагая, что все упомянутые выше системы и подсистемы ЛА функционируют независимо друг от друга.

В обоих случаях сравнить вероятности катастроф, связанных с отказом:

· двигателей;

· систем энергоснабжения;

· вспомогательных подсистем.

 

1.2 Типовой пример решения задачи

 

Дано:

 

m

r

n

N

P 1

P 2

P 3

P 4

PD

P 1э

P 2э

P 3э

P С

10^3

10^-3

3·10^-3

4·10^-3

10^-2

0,5

10^-3

5·10^-3

10^-2

10^-8

 

 

Решение:

М а т е м а т и ч е с к а я ч а с т ь

Введем обозначения событий:

D ₁, D ₂, D ₃, D ₄ – отказ 1-го, 2-го, 3-го и 4-го двигателей соответственно;

B ₁, B ₂, B ₃ – отказ 1-й, 2-й и 3-й системы энергоснабжения соответственно;

C_i – отказ i -й вспомогательной подсистемы, i = ;

Е_К – катастрофа;

Е_KD, Е_KЭ, Е_KC – катастрофы, связанные с отказом двигателей, систем энергоснабжения и вспомогательных подсистем соответственно.

 

Р а с ч е т н а я ч а с т ь

 

Переходим к числовым расчетам. Вычислим вероятность

катастрофы по выведенной нами формуле (1.5). Так как в нашем случае выполняется условие (1.9), то

 

 

Если выполняется условие и и , то будем далее иметь

 

 

Видно, что , так как .

Из этого следует, что вероятность катастрофы, связанной с отказом вспомогательных подсистем, является определяющей.

 

В ы в о д

Наиболее вероятной является катастрофа, связанная с отказом одной из вспомогательных подсистем, а отсутствие дублирующих систем увеличивает вероятность катастрофы в 199 раз, при этом определяющим фактором становится отказ двигателя или системы энергоснабжения.

 

1.3 Варианты задания 1

Числовые данные, соответствующие вариантам задания, приведены в таблице 1, а варианты задания выбираются из приложения А в соответствии с порядковым номером курсанта в списке группы журнала учета учебных занятий.

 

 

_______________________

Примечание – При оформлении решения задачи следует использовать формулировки и тождества используемых теорем.

 

Таблица 1 – Числовые данные, соответствующие вариантам задания 1

Номер варианта							r							N
								0,1
								0,3
								0,5
								0,2
								0,6
								0,4
								0,5
								0,3
								0,1
								0,2
								0,5
								0,1
								0,4
								0,1
								0,2
								0,4
								0,5
								0,3
								0,1

Окончание таблицы 1

Номер варианта							r							N
20								0,2
								0,5
								0,1
								0,4
								0,1
								0,2
								0,4
								0,5
								0,3
								0,1
								0,2
								0,5
								0,1
								0,4
								0,1
								0,3

Задание 2

Задача

Испытываются m элементов системы энергоснабжения самолета, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону с функциями распределения для каждого из m элементов.

Определить вероятность того, что в интервале (0; ) часов откажут:

· только один элемент;

· только два элемента;

…………………………

· все m элементов;

· ни один из m элементов не откажет.

2.2 Типовой пример решения задачи

Дано:

 

m				β
	0,1	0,2	0,3

 

Решение

Р а с ч е т н а я ч а с т ь

Переходим к расчету искомых вероятностей, которые находятся следующим образом:

Вероятность отказа только одного элемента в заданном интервале (0; 5) будет

 

 

вероятность отказа только двух элементов в заданном интервале (0; 5) будет

 

 

вероятность отказа всех трех элементов в заданном интервале (0; 5) будет

 

 

вероятность безотказной работы всех трех элементов во время испытаний в заданном интервале (0; 5) будет

 

В ы в о д

При заданных данных во время испытаний в заданном интервале (0; 5) наиболее вероятным является отказ только двух элементов,

а наименее вероятным – отказ всех трех элементов, так как

 

.

 

Вероятность же того, что все три элемента безотказно отработают во время испытаний в заданном интервале (0; 5) является небольшой, а именно

 

2. 3 Варианты задания 2

Числовые данные, соответствующие вариантам задания 2, приведены в таблице 2, а варианты задания выбираются из приложения А в соответствии с порядковым номером курсанта в списке группы журнала учета учебных занятий.

Таблица 2 – Числовые данные, соответствующие вариантам задания 2

Номер варианта	m						β
		0,15	0,25	0,35	-	-
		0,11	0,21	0,31	-	-
		0,12	0,22	0,32	-	-
		0,13	0,23	0,33	-	-
		0,14	0,24	0,34	-	-
		0,15	0,25	0,35	0,44	-
		0,16	0,26	0,36	0,41	-
		0,17	0,27	0,37	0,42	-
		0,18	0,28	0,38	0,43	-
		0,19	0,29	0,39	0,44	-
		0,35	0,45	0,15	0,45	0,5
		0,31	0,41	0,11	0,46	0,51
		0,32	0,42	0,12	0,47	0,52
		0,33	0,43	0,13	0,48	0,53
		0,34	0,44	0,14	0,49	0,54
		0,35	0,45	0,15

 

Окончание таблицы 2

 

Номер варианта	m						β
		0,36	0,46	0,16
		0,37	0,47	0,17
		0,38	0,48	0,18
		0,39	0,49	0,19
		0,15	0,37	0,25	0,25
		0,11	0,31	0,21	0,26
		0,12	0,32	0,22	0,27
		0,13	0,33	0,23	0,28
		0,14	0,34	0,24	0,29
		0,15	0,35	0,25	0,45	0,15
		0,16	0,36	0,26	0,41	0,16
		0,17	0,37	0,27	0,42	0,17
		0,18	0,38	0,28	0,43	0,18
		0,19	0,39	0,29	0,44	0,19
		0,18	0,25	0,15
		0,17	0,21	0,11
		0,16	0,22	0,12
		0,15	0,23	0,13
		0,19	0,24	0,14

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1 Сотсков, Ю. Н. Теория расписаний:методичеcкое пособие /

Ю. Н. Сотсков, А. Н. Нарольская. – Минск: МГВАК, 2008.

2 Сапцин, В. М. Высшая математика. Часть 1. – Минск: МГВАК, 2002.

3