![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
По работе над курсом высшей математикиСтр 1 из 3Следующая ⇒
Введение
Настоящее издание является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочниками инженерно-технических специальностей. Оно является переработан-ным и дополненным вариантом изданий 1999 и 2002 годов. В пособии содержатся общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики, приводятся правила выполнения и оформления контрольных работ, представлена программа курса высшей математики, соответствующая учебным планам для 1-го се-местра; изложены основные понятия, определения, теоремы и т.д. из курса высшей математики, приведены образцы решения типовых примеров и контрольная работа № 1. Определение номеров задач из контрольной работы производится следующим образом: номер первой задачи контрольной работы равен двум последним цифрам номера зачетной книжки студента; номера последующих задач получаются от прибавления к номеру предыдущей задачи числа 20. Если две последние цифры номера зачетной книжки составляют число, большее чем 20, то номер первой задачи будет равен номеру из двух последних цифр минус число, кратное 20. Например: Номер зачетной книжки Номера задач 301787/148 8, 28, 48 и т.д. 303797/121 14, 34, 54 и т.д. 301797/100 20, 40, 80 и т.д. 303797/106 6, 26, 46 и т.д.
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ необходимо строго придер-живаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблю-дения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки. 1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля шириной 4–5 см для замечаний рецензента. 2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента. 3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачи-тываются.
4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. 5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, сле-дует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкрет-ными, взятыми из соответствующего номера. Условие задачи должно быть написано так:
Найти работу, произведенную силой
Р е ш е н и е ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ: А = 10.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, кратко и лаконично объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Каждую задачу желательно начинать с новой страницы. 7. После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Если рецензент предлагает внести в решение задач те или иные исправления и дополнения, то в случае не зачтенной контрольной работы ее следует представить на повторную рецензию в короткий срок. При повторном представлении работы должна обязательно нахо-диться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому при выполнении контрольной работы рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента.
ПРОГРАММА
Элементы линейной алгебры И аналитической геометрии
1. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Про-странства
2. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения. 3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n -го порядка. Вы-числение определителя разложением по строке (столбцу). 4. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл определителя второго порядка. Простейшие приложения векторного произведения в науке и технике: моменты сил, сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, скорость точки вращающегося тела, направление распространения электромагнитных волн. 5. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл оп-ределителя третьего порядка. 6. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. 7. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, пара-бола, их геометрические свойства и уравнения. Технические прило-жения геометрических свойств кривых (использование фокальных свойств, математические модели формообразования биологических, технических и других объектов). 8. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плос-костями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. 9. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геомет-рические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений. Технические приложения геометрических свойств поверхностей (использование фокальных свойств, модели строитель-ных конструкций, физические модели элементов и т.п.). 10. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда. 11. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве. 12. Матрицы, действия с ними. Понятие обратной матрицы. 13. Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. 14. Пространство 15. Линейные и квадратичные формы в 16. Понятие линейного (векторного) пространства. Вектор как эле-мент линейного пространства. Примеры. Линейные операторы. При-меры линейных операторов. Применение линейных операторов для моделирования различных процессов.
Одной переменной
25. Понятие функции, дифференцируемой в точке, его геометрический смысл. Дифференциал функции. Общее представление о методах линеаризации. 26. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Правила нахождения производной и дифференциала. 27. Производная сложной и обратной функции. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных па-раметрически. 28. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. 29. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение. 30. Производные и дифференциалы высших порядков. 31. Правило Лопиталя. 32. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и форме Лагранжа. Представление функций
Матрицы
Прямоугольная таблица из чисел вида
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размеров m ´ n. Матрица
где Если матрица А – вырожденная Пример 4.1. Найти матрицу
Так как
Следовательно,
Матричный метод. Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду
где Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел
Пример 4.2. Методом Гаусса решить систему
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем
где цифрами
Этой матрице соответствует система
Отсюда последовательно находим
Ответ:
Пример 4.3. Решить систему уравнений
используя формулы Крамера. Решение. Так как определитель данной системы
то матрица А невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители
По формулам Крамера находим решение системы:
4.3. Скалярное произведение векторов в R 3
Скалярным произведением векторов Свойства скалярного произведения:
1. 3. Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов. Если векторы Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:
Учитывая, что
Пример 4.4. Даны векторы
Решение.
Поскольку
а векторы
Поэтому
Механический смысл скалярного произведения: работа А, про-изводимая силой Прямая на плоскости. В декартовой прямоугольной системе координат Оxy прямая на плоскости может быть задана уравнениями: – общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0; (4.3)
– уравнение прямой, проходящей через точку M 0(x 0, y 0)перпендикулярно нормальному вектору
A (x – x 0) + B (y – y 0) = 0;
– уравнение прямой, проходящей через точку M 0(x 0, y 0)параллельно направляющему вектору
– параметрические уравнения прямой
– уравнение прямой в отрезках
Здесь a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат Ox и Oy (т.е. длины, взятые с соответствующими знаками); – уравнение прямой, проходящей через две данные точки M 1(x 1, y 1) и M 2(x 2, y 2):
– уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M 0(x 0, y 0):
y – y 0 = k(x – x 0).
Расстояние
Две прямые, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0и A 2 x +
Пример 4.7. Составить уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М (–1, 2) перпендикулярно вектору, проходящему через точки М 1(3, 1) и М 2(4, –2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М 1и М 2.
Решение. Уравнение прямой запишем в виде:
A (x – x 0) + B (y – y 0) = 0,
где x 0, y 0– координаты точки М, а А и В – координаты нормального вектора. Так как Для нахождения расстояния от точки М до прямой М 1 М 2 запишем уравнение этой прямой в виде
или 3 x + y – 10 = 0.
Подставляя в формулу (4.4) координаты x 0 = –1, y 0 = 2 точки М, получаем
2. Плоскость. Плоскость в прямоугольной системе координат мо-жет быть задана уравнениями:
Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости. (4.5) Если в уравнении (4.5) отсутствует свободный член D, то плоскость проходит через начало координат; если в уравнении (4.5) отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна той оси, название которой не входит в это уравнение;
A (x – x 0) + B (y – y 0) + C (z – z 0) = 0 –
уравнение плоскости, проходящей через точку М 0(x 0, y 0, z 0) перпендикулярно нормальному вектору
где а, b, c – величина отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях; – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2), M 3(x 3, y 3, z 3):
Величина угла φмежду двумя плоскостями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z +D 2 = 0 вычисляется по формуле
Условие перпендикулярности данных плоскостей запишется в виде
Условие параллельности рассматриваемых плоскостей имеет вид
Расстояние
Пример 4.8. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точки М 1(1, 0, –1), М 2(2, –3, 0), М3(4, 7, 1).
Решение. Воспользуемся формулой (4.6):
Раскрыв определитель, получаем искомое уравнение плоскости:
13 x – y – 16 z – 29 = 0.
Линии второго порядка
Линией второго порядка называется множество точек плоскости, координаты x, y которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0. (4.7)
Уравнение (4.7) называется общим уравнением линии второго порядка (А, В, С не равны нулю одновременно). При помощи преобразования прямоугольной системы координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (4.7) имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):
где a, b, p – положительные числа. Уравнение (4.7) может определять так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точ-ку, прямую, пару прямых). При этом линия, приводимая к виду (4.8), (4.9), (4.10), называется соответственно эллипсом, гиперболой или параболой. Эллипс с каноническим уравнением
Рис. 4.4
Точки F 2(– с, 0) и F 1(с, 0), где Числа а и b называются полуосями эллипса. Гипербола с каноническим уравнением
Рис. 4.5 Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А 1(а,0), А 2(– а, 0), называемых вершинами гиперболы. Числа a и b – полуоси гиперболы: а – действительная полуось, b – мнимая. Точки F 2(– c, 0) и F 1(c, 0), где Парабола с каноническим уравнением
Рис. 4.6
Число p называется параметром параболы, точка О – ее вершиной, а ось Оx – осью параболы, вектор
Пример 4.9. Упростить уравнение
Решение. Выделим полные квадраты по переменным x и y соответственно.
Обозначая х – 3 = X, y + 1 = Y, получим каноническое уравнение эллипса
Рис. 4.7
Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется множество точек про-странства, координаты x, y, z которых в прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени:
Уравнение (4.11) называется общим уравнением поверхности второго порядка (коэффициенты A, B, C, D, E, F не равны нулю одновременно). Если поверхность невырожденная, то при помощи преобразования прямоугольных координат (параллельного переноса и поворота) всегда можно найти такую новую систему координат, в которой уравнение (4.11) имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):
В уравнениях (4.12)–(4.20) a, b, c, p положительны. Пример 4.10. Построить тело, ограниченное поверхностями
Решение. Тело ограничено снизу поверхностью параболоида:
Тело изображено на рис. 4.8.
Рис. 4.8
Пример 4.11. Построить тело, ограниченное поверхностями
Решение. Поверхность
Рис. 4.9
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Дифференцирование функций
Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда при-ращение аргумента стремится к нулю:
где
Производная обозначается у', y' (x), y'x.
Правила дифференцирования функций. Пусть С – постоянная, а u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда C' = 0,
Производная сложной функции y = f (u (x)). Если функция u = u (x) дифференцируема в точке х, а функция y = f(u) дифференцируемая в соответствующей точке u = u (x), то сложная функция y = f (u (x)) дифференцируема в точке х и ее производная равна
Таблица производных.
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. ( 9. 10. 11. 12.
13. 14.
Функция Для вычисления производной функции, заданной неявно, следует тождество
Пример 6.1. Найти производную показательно-степенной функции
Решение. Логарифмируя, а затем дифференцируя левую и правую части, получим
Умножая обе части равенства на у, имеем:
Пример 6.2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируя по х тождество
Дифференциал При достаточно малых Пример 6.3. Найти приближенное значение объема шара, радиус которого равен 1,02 м.
Решение. Воспользуемся формулой
Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя 1. Теорема Ролля. Если функция 2. Теорема Лагранжа. Если функция 3. Теорема Коши. Если функции
Пример 6.8. Доказать, что уравнение
Решение. Поскольку функция Тогда по теореме Ролля на интервале
Пример 6.9. Используя формулу Лагранжа, доказать неравен-ство
Решение. Функция
Пример 6.10. Написать формулу Коши и найти значение Решение. Все условия теоремы Коши выполнены:
Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей Пусть
Теорема. Пусть функции
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-15; просмотров: 262; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.35.148 (0.357 с.) |