Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х называется взвешенная сумма всех ее значений:

Свойства:

1. М(С) = С, С =const

2. M(C+X)=M(X)=C

3. M(C·X)=C·M(X)

4. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

5. Если X, Y – независимые, то M(X·Y)=M(X) ·M(Y)

Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

Дисперсия случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) = M[(X-m_X)²] или D(X) = M(X²) – (M(X))²;

Свойства:

1.D(C) = 0; C=const

2.D(X+C)=D(X)

3.D(C·X)=C²·D(X)

4.Если X, Y – независимые, то D(X+Y)=D(X) ·(D(Y)

Средним квадратичным отклонением Х называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

, где n – число испытаний в схеме Бернулли, р – вероятность появления события в каждом испытании. Х = {0,1,2,…,n}

M(X)=np; D(X)=np(1-p)

Геометрический закон распределения.

, где р – вероятность появления события в каждом испытании; X = {1,2,3,…,k,…}

Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

Если n→∞, а р→0, то , где X = {0,1,2,…,k,…}; λ>0; λ=np – среднее число появлений события в n испытаний.

M(X)=D(X)= λ

Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если она примет более чем счетное число значений.

f_x(x) называется плотностью распределения случайной величины Х. График плотности распределении случайной величины Х называется кривой распределения случайной величины.

Свойства плотности распределения:

* для всех : f(x)≥0;

* ∫f(z)dz = 1;

* для всех точек , в которых существует производная F`(x).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет конкретное число значения, равна нулю для всех : Р(Х=х₀) = 0.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать: для всех : таких, что с<d:

Р(с≤X≤d) = P(c≤X≤d) = P(c≤X≤d) = P(c<X<d) = F(d)-F(c) = ∫f(x)dx.

18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).

Математическое ожидание непрерывной с.в. называется число

Свойства:

1.М(С) = С, С =const

2.М(С·Х) = С·М(Х), С = const

3.Если X,Y – дискретные с.в., то М(Х+Y) = М(Х) + М(Y)

Дисперсия случайной величины:

Свойства:

1.D(C) = 0

2.D(C·X) = C²·D(X)

3.Если X,Y – дискретные с.в., то D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины X^k: v_k=[M(X)]^k.

Оценка начального момента:

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: v₁ = M(x).

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [Х-М(Х)]^k: μ_k = М[Х-М(Х)]=0;

Оценка центрального момента:

В частности, центральный момент первого порядка равен 0: μ₁ = М(Х-М(Х))=0;

Центральный момент второго порядка равен дисперсии: μ₂ = М(Х – М(Х))² = D(X).

20. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.

Плотность распределения:

 

Плотность распределения:

Функция распределения:

Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.

Функция распределения:

Плотность распределения:

Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока.

Поток событий – среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Стационный поток – его плотность: постоянная величина.

Поток без последействия – если вероятность попадания определенного числа событий на определенный промежуток времени не зависимо от того, когда и в какие моменты событие появлялось до этого.

Ординарный поток – если вероятность попадания на элементарный промежуток времени двух или более событий пренебрежительно мала с вероятностью попадания на этот же промежуток одного события.

Все эти потоки – простейшие.

23. Нормальный закон распределения: функция плотности и функция распределения, основные числовые характеристики. (Закон Гаусса).

X ~ N(m,σ)

M(X)=m; D(X)=σ²