Определение двойного интеграла при помощи произвольных разбиений области. Эквивалентность двух определений.

Плоская фигура - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя и нижняя площади этой фигуры равны между собой (Верхняя площадь - точная нижняя грань площадей всех многоугольников, содержащих фигуру, нижняя площадь - точная верх­няя грань площадей всех многоугольников, содержащихся в фигуре.). Это число называется площадью фигуры.

Г называется кривой площади 0, если для ε > 0 многоугольник (элементарная фигура), содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую ε.

У1. Пусть кривая Г имеет площадь 0 и плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом h. Тогда для ε>0 h >0 такое, что сумма площадей всех квадратов, имеющих общие точки с Г, меньше ε.

Док-во. Для каждого ε > 0 можно фиксировать некото­рую элементарную фигуру Q, содержащую внутри себя Г и имею­щую площадь, меньшую ε/4. При достаточно малом h все квадра­ты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигу­ре, получающейся заменой каждого прямоугольника прямоуголь­ником со вдвое большими сторонами и с тем же центром.•

Пусть D - замкнутая ограниченная область, гра­ница Г которой имеет площадь 0, f (х, у) - ограниченная функция, определенная в D, R - прямоугольник (со сторонами, параллельными коор­динатным осям), содержащий область D. Определим в R функцию:

О1. Ф-я f (х, у) интегрируе­ма в D, если ф-я F (х, у) интегрируема в прямо­угольнике R. Число

назовем двойным интегралом от f (х, у) по области D и обозначим:

У2. Интеграл равен площади области D.

Док-во. Подвергая прямоугольник R все более мелким разбиениям, получим, что верхние интегральные суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фи­гур, содержащих D, а нижние суммы - площадям элементарных фигур, содержащихся в D. Интегрируемость f (х, у)=1в D следует из Т*.

Т1. Если f (х, у) обладает в области D I-свойством, то она интегрируема в этой области.

Док-во. Функция F (х, у), определенная (1), обладает I -свойством в прямоугольни­ке R, т.к. F (х, у)ограничена в R ивсе ее точки и линии разрыва либо совпадают с соответствующими раз­рывами f (х, у),либо лежат на границе Г области D. Но граница Г имеет площадь 0=> Т1 следует из Т*.

Сл1. Если f (х, у) огра­ничена в D и имеет в D разрывы лишь на конечном числе спрямляемых линий, то f (х, у) интегрируема в D.

Сл2. Если f (х, у) обла­дает в D I-свойством, а g (х, у) ограничена и совпадает с f (х, у) всюду в D, за исключением множества точек площади 0, то g (х, у) интегрируема в области D, причем

 

Пусть D - замкнутая ограниченная область с границей Г площади 0. Разобьем область D при помощи конечного числа произвольных кривых пло­щади 0 на конечное число r замкну­тых частичных областей D ₁, D ₂, ..., D_r. Каждая имеет границу площади 0 => квадрируема. Пусть - пло­щадь области . В каждой D_i выберем точку

О2. Число

называется интегральной суммой ф-и f (х, у), соответ­ствующей данному разбиению D на частичные области и данному выбору точек в . Диаметр области - число

- расстояние между . Диаметр разбиения D - число

О3. Число I называется пределом интег­ральных сумм (2) при , если для ε > 0 δ > 0: при < δ независимо от выбора точек в выполняется .

О4 (общее определение интегрируемости). Ф-я f (х, у) называется интегрируемой (по Риману) в области D если конечный предел I интегральных сумм этой функции при . Этот предел I называется двой­ным интегралом от функции f (х, у) по области D.

Т2. Общее определение интегрируемости эквива­лентно определению 1.

Док-во. 1) Пусть f (х, у)интегрируема в D согласно O4 и ее двойной интеграл согласно O4 равен I. Заключим D в прямоугольник R, разобьем его на частичные прямоугольники и введем на R ф-ю F (х, у)по правилу (1). Рассмотрим для этого разбиения интегральную сумму (2) ф-и f (х, у)и интегральную сум­му (8) ф-и F (х, у). Эти суммы могут отличаться лишь слагаемыми, соответствующими частичным прямо­угольникам разбиения, имеющим общие точки с границей Г об­ласти D. Поскольку Г имеет площадь 0, а f (х, у)ограничена, то f (х, у)интегрируема и согласно О1. По О1 она имеет тот же самый двойной интеграл I.

2) Пусть f (х, у)интегрируема в D согласно О1 и I - двойной интеграл от f (х, у)по D согласно О1. Докажем, что для f (х, у) равный I предел интегральных сумм при . Составим для данного разбиения области D верхнюю и ниж­нюю суммы

Т.к. для разбиения (при выборе промежуточных точек в ): , то надо доказать, что обе суммы стремятся к I при : для ε > 0 δ > 0: при : .

Фиксируем ε > 0. По Т** и У1 для этого ε разбиение Т прямоугольника R (D R)на частичные прямоугольники R_k такое, что для соответствующей функции F (х, у)

Заключим все отрезки прямых, производящих разбиение Т, и границу Г области D строго внутрь элементарной фигуры Q, площадь которой меньше числа => положительная точная нижняя грань δ расстояния между двумя точками, одна из которых принадлежит границе фигуры Q, а другая - отрезкам прямых, производящим разбиение Т, или гра­нице Г области D (см. док-во У1) Докажем, что для сумм разбиения области D, удовлетворяющего условию :

Докажем 1-е неравенство (4) (2-е ан-но).

Удалим из все слагаемые , соответствующие областям , каждая из которых не лежит целиком в одном час­тичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области (т.к. ) => общая сумма площадей таких областей меньше числа => сумма всех удаленных слагаемых мень­ше числа ε/6, и справедлива:

где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на , которые целиком содержатся в одном из прямо­угольников разбиения Т.

Заменим в правой части (5) точные грани в , содержащихся в частичном прямоугольнике , точной верхней гранью в прямоугольнике . Обозначим

и - площадь области =>

Для прямоугольников области , поэтому для них

для прямоугольников , пересекающихся с Г,

=> и из (6):

=> 1-е неравенство (4) =>

Из (3) => каждая из s и S отклоняется от I меньше чем на ε /2 => каждая из в силу (7) откло­няется от I меньше чем на ε.

*: О. Ф-я f (х, у) обла­дает в прямоугольнике R (в произвольной замкнутой области D) I-свойством, если: 1) f (х, у) ограничена в R (в D); 2) для ε > 0 элементарная фигура площади, меньшей ε, содержащая все точки и линии разрыва f (х, у).

Т. Если f (х, у) обладает в прямоугольни­ке I-свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике.

**: Чтобы ограниченная на прямоугольни­ке R ф-я f (х, у) была интегрируема на R, необходимо и достаточно, чтобы для ε > 0 такое разбиение Т прямоугольника R, для которого .

О0. Число

назовем интегральной суммой ф-и f (х, у), соответ­ствующей данному разбиению Т прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек на частичных прямоугольниках разбиения Т.

О0’. Число I называется пределом интег­ральных сумм (8) при , если для ε > 0 δ > 0: при независимо от выбора промежуточных точек на выполняется .